题目

6.(12分)用配方法化二次型f=x_(1)^2+2x_(2)^2+10x_(3)^2+2x_(1)x_(2)+2x_(1)x_(3)+8x_(2)x_(3)为标准形，并求所用的变换矩阵.

6.(12分)用配方法化二次型$f=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+10x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+8x_{2}x_{3}$为标准形，并求所用的变换矩阵.

题目解答

答案

二次型 $ f = x_1^2 + 2x_2^2 + 10x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 8x_2x_3 $ 可通过配方法化为标准形。 1. **配方法：** \[ f = (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 + 3x_3)^2 \] 令 $ y_1 = x_1 + x_2 + x_3 $，$ y_2 = x_2 + 3x_3 $，$ y_3 = x_3 $，则 \[ f = y_1^2 + y_2^2 \] 2. **变换矩阵：** 由 \[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] 求逆得 \[ C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] **答案：** 标准形：$ f = y_1^2 + y_2^2 $ 变换矩阵： \[ \boxed{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} \]

解析

考查要点：本题主要考查二次型的配方法化为标准形，以及求对应的变换矩阵。
解题思路：

  1. 配方法：通过配方将二次型分解为多个平方项的和，确定新变量与原变量的关系。
  2. 变换矩阵：根据变量替换关系，构造线性变换矩阵，并求其逆矩阵作为最终的变换矩阵。
    关键点：
  • 配方顺序：优先处理含$x_1$的项，逐步消去交叉项。
  • 变量替换：通过配方结果定义新变量，确保线性无关。
  • 矩阵求逆：利用下三角矩阵的特性快速求逆。

步骤1：对$x_1$进行配方

原式：
$f = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2^2 + 8x_2x_3 + 10x_3^2$
提取$x_1$的项：
$x_1^2 + 2x_1(x_2 + x_3) = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - (x_2 + x_3)^2$
代入原式，得：
$f = (x_1 + x_2 + x_3)^2 + \left[2x_2^2 + 8x_2x_3 + 10x_3^2 - (x_2 + x_3)^2\right]$

步骤2：展开并简化剩余项

展开$(x_2 + x_3)^2$：
$x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2$
剩余部分为：
$2x_2^2 + 8x_2x_3 + 10x_3^2 - x_2^2 - 2x_2x_3 - x_3^2 = x_2^2 + 6x_2x_3 + 9x_3^2$
进一步配方：
$x_2^2 + 6x_2x_3 + 9x_3^2 = (x_2 + 3x_3)^2$

步骤3：定义新变量

令：
$y_1 = x_1 + x_2 + x_3, \quad y_2 = x_2 + 3x_3, \quad y_3 = x_3$
则标准形为：
$f = y_1^2 + y_2^2$

步骤4：构造变换矩阵

变量替换关系为：
$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$
求逆矩阵$C^{-1}$：
$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$