题目

15. 已知二次型f(x_(1),x_(2))=x_(1)^2+x_(2)^2+tx_(3)^2正定，则实数t的取值范围是____.

15. 已知二次型$f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+tx_{3}^{2}$正定，则实数t的取值范围是____.

题目解答

答案

二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + tx_3^2 $ 对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{pmatrix} \] 矩阵 $ A $ 的特征值为 $ 1, 1, t $。为使二次型正定，所有特征值须为正，即 $ t > 0 $。或者，通过顺序主子式判断：$ A_1 = 1 $，$ A_2 = 1 $，$ A_3 = t $，需满足 $ A_3 > 0 $，即 $ t > 0 $。 **答案：** $(0, +\infty)$

解析

本题考查二次型正定的判定，解题思路是通过二次型对应的矩阵的特征值或者顺序主子式来确定实数$t$的取值范围。

  1. 确定二次型对应的矩阵：
    对于二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+tx_{3}^{2}$，它对应的矩阵$A$为对角矩阵，其元素是二次型中平方项的系数，即$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{pmatrix}$。
  2. 方法一：利用特征值判定
    • 对于对角矩阵，其对角线上的元素就是矩阵的特征值，所以矩阵$A$的特征值为$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = t$。
    • 根据二次型正定的充要条件是其对应的矩阵的所有特征值都大于零，可得$\lambda_1>0$，$\lambda_2>0$，$\lambda_3>0$。
    • 已知$\lambda_1 = 1>0$，$\lambda_2 = 1>0$，所以只需$\lambda_3=t>0$。
  3. 方法二：利用顺序主子式判定
    • 矩阵$A$的一阶顺序主子式$A_1$为矩阵$A$的第一个元素，即$A_1 = 1$。
    • 矩阵$A$的二阶顺序主子式$A_2$为矩阵$A$左上角的二阶子矩阵的行列式，即$A_2=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\times1 - 0\times0 = 1$。
    • 矩阵$A$的三阶顺序主子式$A_3$为矩阵$A$的行列式，即$A_3=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&t\end{vmatrix}=1\times1\times t - 0\times0\times0= t$。
    • 根据二次型正定的充要条件是其对应的矩阵的各阶顺序主子式都大于零，可得$A_1>0$，$A_2>0$，$A_3>0$。
    • 已知$A_1 = 1>0$，$A_2 = 1>0$，所以只需$A_3=t>0$。