单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 12.（2.0分）当x→0时，为无穷小量的是（） A. (1)/(x)sin(1)/(x) B. (1)/(x)sin(1)/(x) C. (sin x)/(x) D. (1)/(sinfrac(1){x)}

考查要点：本题考察无穷小量的定义及极限的计算，需判断各选项在$x \to 0$时是否趋近于0。

解题核心思路：

1. 无穷小量的定义：当$x \to 0$时，函数$f(x)$的极限为0。
2. 分析各选项中函数的极限是否存在，是否为0：
   • 选项A、B：若形式为$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{x} \to \infty$，$\sin\frac{1}{x}$振荡，整体无极限。
   • 选项C：$\frac{\sin x}{x} \to 1$（重要极限），非无穷小。
   • 选项D：$\frac{1}{\sin\frac{1}{x}}$振荡无极限。
   • 关键点：若选项B实际为$x\sin\frac{1}{x}$，则$x \to 0$且$\sin\frac{1}{x}$有界，乘积趋近于0。

选项分析

选项A：$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$

• 当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to \infty$，$\sin\frac{1}{x}$在$[-1,1]$间振荡。
• 整体表达式在$[-\frac{1}{x}, \frac{1}{x}]$间振荡，绝对值趋于无穷大，极限不存在。

选项B：假设为$x\sin\frac{1}{x}$

• $x \to 0$，$\sin\frac{1}{x}$有界（$|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$）。
• 根据夹逼定理：$|x\sin\frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$，故$x\sin\frac{1}{x} \to 0$，是无穷小量。

选项C：$\frac{\sin x}{x}$

• 由重要极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，极限为1，非无穷小。

选项D：$\frac{1}{\sin\frac{1}{x}}$

• $\sin\frac{1}{x}$在$[-1,1]$间振荡，当$\sin\frac{1}{x} \to 0$时，$\frac{1}{\sin\frac{1}{x}}$趋于无穷大；其他情况振荡无极限。