题目
112.【2022 4】极限lim_(xto1)(sqrt(7x-6)-sqrt(x))/(x-1)=（ ）
112.【2022 4】极限$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{7x-6}-\sqrt{x}}{x-1}=$（ ）
题目解答
答案
将分子有理化，得
\[
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{7x-6} - \sqrt{x}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{6(x-1)}{(x-1)(\sqrt{7x-6} + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 1} \frac{6}{\sqrt{7x-6} + \sqrt{x}}.
\]
代入 $x=1$，得
\[
\frac{6}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{6}{2} = 3.
\]
答案：$\boxed{C}$
解析
考查要点：本题主要考查分式极限的求解方法，特别是处理0/0型不定式的技巧，如分子有理化或洛必达法则的应用。
解题核心思路：
当直接代入$x=1$导致分母为0且分子也为0时，需通过变形消除分母中的零因子。分子有理化是关键步骤，通过构造共轭表达式，将分子转化为多项式形式，从而约分简化表达式。
破题关键点：
- 识别0/0型不定式，确定使用有理化或洛必达法则。
- 分子有理化：将分子$\sqrt{7x-6} - \sqrt{x}$乘以共轭$\sqrt{7x-6} + \sqrt{x}$，消去根号差。
- 约分简化：分子变形后与分母的$(x-1)$约分，转化为可直接代入$x=1$的形式。
步骤1：分子有理化
将分子$\sqrt{7x-6} - \sqrt{x}$乘以共轭$\sqrt{7x-6} + \sqrt{x}$，并同时乘以分母保持等价变形：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{7x-6} - \sqrt{x}}{x-1} &= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{7x-6} - \sqrt{x})(\sqrt{7x-6} + \sqrt{x})}{(x-1)(\sqrt{7x-6} + \sqrt{x})} \\&= \lim_{x \to 1} \frac{(7x-6) - x}{(x-1)(\sqrt{7x-6} + \sqrt{x})} \\&= \lim_{x \to 1} \frac{6(x-1)}{(x-1)(\sqrt{7x-6} + \sqrt{x})}.\end{aligned}$
步骤2：约分简化
分子中的$(x-1)$与分母中的$(x-1)$约去：
$\lim_{x \to 1} \frac{6}{\sqrt{7x-6} + \sqrt{x}}.$
步骤3：代入求值
将$x=1$代入化简后的表达式：
$\frac{6}{\sqrt{7 \cdot 1 -6} + \sqrt{1}} = \frac{6}{1 + 1} = 3.$