6.判断题(5分) 易 对于周期为2L的函数f(x)，如果f(x)在[-L,L]上是奇函数，那么其傅里叶级数展开式中a_(n)=0,n=0,1,2,...A. 正确B. 错误

本题考查周期为$2L$的函数的傅里叶级数展开式中系数$a_{n}$的计算以及奇函数的性质。解题思路是先写出周期为$2L$的函数$f(x)$的傅里叶级数展开式中系数$a_{n}$的计算公式，再结合$f(x)$在$[-L,L]$上是奇函数的性质对该公式进行化简，从而判断$a_{n}$的值。

步骤一：写出周期为$2L$的函数$f(x)$的傅里叶级数展开式中系数$a_{n}$的计算公式

对于周期为$2L$的函数$f(x)$，其傅里叶级数展开式中系数$a_{n}$的计算公式为：
$a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx$，其中$n = 0,1,2,\cdots$。

步骤二：分析$f(x)$与$\cos(\frac{n\pi x}{L})$的奇偶性

已知$f(x)$在$[-L,L]$上是奇函数，根据奇函数的定义：对于任意$x\in[-L,L]$，都有$f(-x)= -f(x)$。
对于函数$g(x)=\cos(\frac{n\pi x}{L})$，有$g(-x)=\cos(\frac{n\pi (-x)}{L})=\cos(-\frac{n\pi x}{L})$，根据余弦函数的性质$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，可得$g(-x)=\cos(\frac{n\pi x}{L}) = g(x)$，所以$g(x)=\cos(\frac{n\pi x}{L})$是偶函数。

步骤三：分析$f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})$的奇偶性

根据奇函数与偶函数的乘积性质：奇函数与偶函数的乘积是奇函数。因为$f(x)$是奇函数，$\cos(\frac{n\pi x}{L})$是偶函数，所以$f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})$是奇函数。

步骤四：计算$a_{n}$的值

根据定积分的性质：若$h(x)$是奇函数，则$\int_{-a}^{a}h(x)dx = 0$。
因为$f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})$是奇函数，所以$\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx = 0$。
将$\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx = 0$代入$a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx$，可得$a_{n}=\frac{1}{L}\times0 = 0$，其中$n = 0,1,2,\cdots$。

因此，对于周期为$2L$的函数$f(x)$，如果$f(x)$在$[-L,L]$上是奇函数，那么其傅里叶级数展开式中$a_{n}=0,n=0,1,2,\cdots$，该说法正确。