题目
设F1，F2为椭圆C：((x)^2)/(36)+((y)^2)/(20)=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ____ ．
设F1，F2为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ____ ．
题目解答
答案
解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的a=6，b=2$\sqrt{5}$，c=4，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c，
即有6+$\frac{2}{3}$m=8，即m=3，n=$\sqrt{15}$；
6-$\frac{2}{3}$m=8，即m=-3＜0，舍去．
可得M（3，$\sqrt{15}$）．
故答案为：（3，$\sqrt{15}$）．
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c，
即有6+$\frac{2}{3}$m=8，即m=3，n=$\sqrt{15}$；
6-$\frac{2}{3}$m=8，即m=-3＜0，舍去．
可得M（3，$\sqrt{15}$）．
故答案为：（3，$\sqrt{15}$）．
解析
步骤 1：确定椭圆的参数
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1，由此可得a=6，b=2$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{a^2-b^2}$=4。因此，焦点F_1和F_2的坐标分别为（-4，0）和（4，0）。
步骤 2：确定等腰三角形的条件
由于M为椭圆C上一点且在第一象限，且△MF_1F_2为等腰三角形，因此可能有|MF_1|=|F_1F_2|或|MF_2|=|F_1F_2|。由于|F_1F_2|=2c=8，因此|MF_1|=8或|MF_2|=8。
步骤 3：计算M的坐标
根据椭圆的定义，|MF_1|+|MF_2|=2a=12。若|MF_1|=8，则|MF_2|=4。根据椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，可得6+$\frac{2}{3}$m=8，解得m=3。将m=3代入椭圆方程，解得n=$\sqrt{15}$。因此，M的坐标为（3，$\sqrt{15}$）。
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1，由此可得a=6，b=2$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{a^2-b^2}$=4。因此，焦点F_1和F_2的坐标分别为（-4，0）和（4，0）。
步骤 2：确定等腰三角形的条件
由于M为椭圆C上一点且在第一象限，且△MF_1F_2为等腰三角形，因此可能有|MF_1|=|F_1F_2|或|MF_2|=|F_1F_2|。由于|F_1F_2|=2c=8，因此|MF_1|=8或|MF_2|=8。
步骤 3：计算M的坐标
根据椭圆的定义，|MF_1|+|MF_2|=2a=12。若|MF_1|=8，则|MF_2|=4。根据椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，可得6+$\frac{2}{3}$m=8，解得m=3。将m=3代入椭圆方程，解得n=$\sqrt{15}$。因此，M的坐标为（3，$\sqrt{15}$）。