设F1，F2为椭圆C：((x)^2)/(36)+((y)^2)/(20)=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ____ ．

考查要点：本题主要考查椭圆的标准方程、焦点性质、等腰三角形的性质，以及焦半径公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定椭圆参数：根据标准方程求出长半轴$a$、短半轴$b$、焦距$c$，并确定焦点坐标。
2. 分析等腰三角形条件：△MF₁F₂为等腰三角形，可能的边长组合为$|MF₁|=|F₁F₂|$或$|MF₂|=|F₁F₂|$。
3. 利用焦半径公式：椭圆上点到焦点的距离公式为$|MF₁|=a+ex$，$|MF₂|=a-ex$（$e$为离心率），结合等腰条件列方程求解坐标。
4. 验证解的合理性：确保解在第一象限。

破题关键点：

• 焦半径公式的灵活应用，避免直接计算距离的复杂运算。
• 分类讨论等腰情况，排除不符合条件的解。

步骤1：确定椭圆参数

椭圆方程为$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$，可得：

• 长半轴$a=6$，短半轴$b=2\sqrt{5}$，
• 焦距$c=\sqrt{a^2-b^2}=4$，
• 焦点坐标$F_1(-4,0)$，$F_2(4,0)$，
• 离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$。

步骤2：分析等腰三角形条件

△MF₁F₂为等腰三角形，可能的边长组合为：

1. $|MF₁|=|F₁F₂|=8$，
2. $|MF₂|=|F₁F₂|=8$。

步骤3：利用焦半径公式列方程

• 情况1：$|MF₁|=8$
  根据焦半径公式$|MF₁|=a+ex=6+\frac{2}{3}m$，得方程：
  $6+\frac{2}{3}m=8 \implies m=3.$
  代入椭圆方程求$n$：
  $\frac{3^2}{36}+\frac{n^2}{20}=1 \implies n=\sqrt{15}.$
  此时$M(3,\sqrt{15})$在第一象限，符合条件。

• 情况2：$|MF₂|=8$
  根据焦半径公式$|MF₂|=a-ex=6-\frac{2}{3}m$，得方程：
  $6-\frac{2}{3}m=8 \implies m=-3.$
  $m=-3$不满足第一象限条件，舍去。

步骤4：结论

唯一符合条件的解为$M(3,\sqrt{15})$。