题目

已知一抛物线通过x轴上的两点A（1，0），B（3，0）．（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积；（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比．

已知一抛物线通过x轴上的两点A（1，0），B（3，0）．
（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积；
（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比．

题目解答

答案


（1）
设过A、B两点的抛物线方程为：
y=a（x-1）（x-3），
则抛物线与两坐标轴所围图形的面积：
S1＝

∫
1
0
|a(x−1)(x−3)|dx＝|a|
∫
1
0
(x2−4x+3)dx＝
4
3
|a|，
抛物线与x轴所围图形的面积：
S2＝
∫
3
1
|a(x−1)(x−3)|dx＝|a|
∫
3
1
(4x−x2−3)dx＝
4
3
|a|，
所以：S1=S2．
（2）
抛物线与两坐标轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体体积：
V1＝π
∫
1
0
a2[(x−1)(x−3)]2dx＝
38
15
πa2，
抛物线与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体体积：
V2＝π
∫
3
1
a2[(x−1)(x−3)]2dx＝
16
15
πa2，
所以：
V1
V2
＝
19
8
．