1 设 (A)=n-1, n元线性方程组 =b(bneq 0) 有三个互不相同的解α,β,y,-|||-则其对应的齐次线性方程组的基础解系为 ()-|||-__-|||-(6.6分)-|||-A、 α,β.-|||-B、 α,β,y:-|||-C、 alpha +beta ;-|||-D、 alpha -beta ;

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的结构与齐次方程组基础解系的关系，以及解空间的维数确定。

解题核心思路：

1. 非齐次方程组有多个解时，其任意两个解的差是对应齐次方程组的解。
2. 基础解系的维数由系数矩阵的秩决定，即解空间的维数为 $n - R(A)$。
3. 当 $R(A) = n-1$ 时，齐次方程组的解空间是 一维 的，因此基础解系只需一个线性无关的解向量。

破题关键点：

• 通过非齐次方程组的三个不同解，构造齐次方程组的解（如 $\alpha - \beta$）。
• 确定基础解系的维数为1，从而只需选取一个非零解向量作为基础解系。

步骤1：分析非齐次方程组的解结构

已知非齐次方程组 $Ax = b$ 有三个不同解 $\alpha, \beta, \gamma$，根据解的结构定理：

• 任意两个解的差是齐次方程组 $Ax = 0$ 的解，例如 $\alpha - \beta$, $\beta - \gamma$ 等。

步骤2：确定齐次方程组解空间的维数

由 $R(A) = n-1$，齐次方程组解空间的维数为：
$n - R(A) = n - (n-1) = 1$
因此，基础解系只需 一个线性无关的解向量。

步骤3：验证选项的合理性

• 选项D（$\alpha - \beta$）：是齐次方程组的解，且解空间一维，故可作为基础解系。
• 选项C（$\alpha + \beta$）：非齐次方程组的解之和不一定是齐次方程的解（例如 $A(\alpha + \beta) = b + b = 2b \neq 0$），故排除。
• 选项A、B：包含多个向量，但解空间维数为1，无法线性无关，故排除。