题目

4【填空题】某车间生产了同样规格的6箱产品，其中有3箱、2箱、1箱分别是由甲、乙、丙3个车床生产的，且3个车床的次品率依次为0.1，0.15，0.2，现从这6箱中选一箱，再从中任取一件，取得是次品的概率为____。(答案书写：*/)第一空：

4【填空题】某车间生产了同样规格的6箱产品，其中有3箱、2箱、1箱分别是由甲、乙、丙3个车床生产的，且3个车床的次品率依次为0.1，0.15，0.2，现从这6箱中选一箱，再从中任取一件，取得是次品的概率为____。(答案书写：*/) 第一空：

题目解答

答案

设每箱产品数为 $ N $，则各车床生产的次品数为： - 甲车床：$ 3N \times 0.1 = 0.3N $ - 乙车床：$ 2N \times 0.15 = 0.3N $ - 丙车床：$ N \times 0.2 = 0.2N $ 总次品数为 $ 0.3N + 0.3N + 0.2N = 0.8N $，总产品数为 $ 6N $。 取得次品的概率为： \[ \frac{0.8N}{6N} = \frac{0.8}{6} = \frac{2}{15} \] 或者，利用全概率公式： \[ P(\text{次品}) = \frac{3}{6} \times 0.1 + \frac{2}{6} \times 0.15 + \frac{1}{6} \times 0.2 = \frac{1}{2} \times 0.1 + \frac{1}{3} \times 0.15 + \frac{1}{6} \times 0.2 = \frac{2}{15} \] **答案：** $\boxed{\frac{2}{15}}$

解析

考查要点：本题主要考查全概率公式的应用，以及分步乘法原理和分类加法原理的综合运用。

解题核心思路：
题目中存在分层抽样的过程（先选箱子，再选产品），因此需要分步计算概率。关键在于明确每个步骤的概率分配：

  1. 选择箱子的概率：根据各车床生产的箱数占总箱数的比例；
  2. 选择次品的概率：根据对应车床的次品率。
    最终将两部分概率相乘后相加，得到总概率。

破题关键点：

  • 正确分配选择箱子的概率（甲、乙、丙车床对应的箱数比例）；
  • 准确应用次品率，注意次品率是针对单个产品的概率，而非单个箱子。

步骤1：确定选择各车床箱子的概率

  • 甲车床有3箱，占总箱数的$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$；
  • 乙车床有2箱，占$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$；
  • 丙车床有1箱，占$\frac{1}{6}$。

步骤2：计算各车床的次品概率贡献

  • 甲车床贡献：$\frac{1}{2} \times 0.1 = 0.05$；
  • 乙车床贡献：$\frac{1}{3} \times 0.15 \approx 0.05$；
  • 丙车床贡献：$\frac{1}{6} \times 0.2 \approx 0.0333$。

步骤3：总概率求和
将各车床的贡献相加：
$0.05 + 0.05 + 0.0333 = 0.1333 = \frac{2}{15}.$