题目
设矩阵A与矩阵B相似,则必有(). ()A.设矩阵A与矩阵B相似,则必有(). ()B.设矩阵A与矩阵B相似,则必有(). ()C.设矩阵A与矩阵B相似,则必有(). ()D.设矩阵A与矩阵B相似,则必有(). ()
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
B. A,B有相同的行列式
解析
步骤 1：相似矩阵的定义
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得 $B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
步骤 2：行列式的性质
对于相似矩阵A和B，由于 $B = P^{-1}AP$，则有 $\det(B) = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \det(A)$。因此，相似矩阵有相同的行列式。
步骤 3：特征向量的性质
虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征向量不一定相同。特征向量依赖于具体的矩阵，而不仅仅是特征值。
步骤 4：对角化
相似矩阵不一定都能相似于同一对角矩阵。只有当矩阵可以对角化时，才存在一个对角矩阵与之相似。相似矩阵的对角化形式可能不同。
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得 $B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
步骤 2：行列式的性质
对于相似矩阵A和B，由于 $B = P^{-1}AP$，则有 $\det(B) = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \det(A)$。因此，相似矩阵有相同的行列式。
步骤 3：特征向量的性质
虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征向量不一定相同。特征向量依赖于具体的矩阵，而不仅仅是特征值。
步骤 4：对角化
相似矩阵不一定都能相似于同一对角矩阵。只有当矩阵可以对角化时，才存在一个对角矩阵与之相似。相似矩阵的对角化形式可能不同。