(4)设函数 f(x)= ) -1,|x|gt 1 1,|x|leqslant 1 . ,求f (f(x )。。

考查要点：本题主要考查分段函数的复合运算，需要根据中间结果再次应用函数定义进行判断。

解题思路：

1. 分段讨论：根据原函数$f(x)$的定义，分$|x| > 1$和$|x| \leq 1$两种情况讨论$f(x)$的值。
2. 复合运算：将$f(x)$的结果作为输入，再次代入$f$函数中，判断其绝对值是否满足原函数的条件，最终得到$f(f(x))$的值。

关键点：

• 中间结果的判断：需明确$f(x)$的输出值（$-1$或$1$），再将其代入$f$函数中重新判断条件。

情况一：当$|x| > 1$时

1. 计算$f(x)$：根据定义，$f(x) = -1$。
2. 计算$f(f(x))$：此时$f(x) = -1$，需判断$|-1|$是否满足原函数条件。
   • $|-1| = 1 \leq 1$，因此$f(-1) = 1$。
   • 结论：$f(f(x)) = 1$。

情况二：当$|x| \leq 1$时

1. 计算$f(x)$：根据定义，$f(x) = 1$。
2. 计算$f(f(x))$：此时$f(x) = 1$，需判断$|1|$是否满足原函数条件。
   • $|1| = 1 \leq 1$，因此$f(1) = 1$。
   • 结论：$f(f(x)) = 1$。

最终结论：无论$x$取何值，$f(f(x))$的结果均为$1$。