题目
求详解8.设f(x)为非负连续函数,当 geqslant 0 时,有 (int )_(0)^xf(x)f(x-t)dt=(e)^2x-1, 求f(x).
求详解
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用换元法简化积分
设 $u = x - t$，则 $t = x - u$，$dt = -du$。当 $t = 0$ 时，$u = x$；当 $t = x$ 时，$u = 0$。因此，原积分可以写为：
$${\int }_{0}^{x}f(x)f(x-t)dt = f(x)\cdot {\int }_{0}^{x}f(x-t)dt = f(x)\cdot {\int }_{x}^{0}f(u)(-du) = f(x)\cdot {\int }_{0}^{x}f(u)du$$
步骤 2：将积分结果与给定的等式进行比较
根据题目条件，有：
$$f(x)\cdot {\int }_{0}^{x}f(u)du = {e}^{2x}-1$$
步骤 3：求解f(x)
令 $F(x) = {\int }_{0}^{x}f(u)du$，则 $F'(x) = f(x)$。因此，原方程可以写为：
$$F'(x)F(x) = {e}^{2x}-1$$
这是一个可分离变量的微分方程。分离变量并积分，得到：
$$\int F'(x)F(x)dx = \int ({e}^{2x}-1)dx$$
$$\frac{1}{2}F^2(x) = \frac{1}{2}{e}^{2x}-x+C$$
由于 $F(0) = 0$，代入上式得到 $C = 0$。因此：
$$F^2(x) = {e}^{2x}-2x$$
$$F(x) = \sqrt{{e}^{2x}-2x}$$
由于 $F'(x) = f(x)$，则：
$$f(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{{e}^{2x}-2x} = \frac{1}{2\sqrt{{e}^{2x}-2x}}\cdot (2{e}^{2x}-2) = \frac{{e}^{2x}-1}{\sqrt{{e}^{2x}-2x}}$$
设 $u = x - t$，则 $t = x - u$，$dt = -du$。当 $t = 0$ 时，$u = x$；当 $t = x$ 时，$u = 0$。因此，原积分可以写为：
$${\int }_{0}^{x}f(x)f(x-t)dt = f(x)\cdot {\int }_{0}^{x}f(x-t)dt = f(x)\cdot {\int }_{x}^{0}f(u)(-du) = f(x)\cdot {\int }_{0}^{x}f(u)du$$
步骤 2：将积分结果与给定的等式进行比较
根据题目条件，有：
$$f(x)\cdot {\int }_{0}^{x}f(u)du = {e}^{2x}-1$$
步骤 3：求解f(x)
令 $F(x) = {\int }_{0}^{x}f(u)du$，则 $F'(x) = f(x)$。因此，原方程可以写为：
$$F'(x)F(x) = {e}^{2x}-1$$
这是一个可分离变量的微分方程。分离变量并积分，得到：
$$\int F'(x)F(x)dx = \int ({e}^{2x}-1)dx$$
$$\frac{1}{2}F^2(x) = \frac{1}{2}{e}^{2x}-x+C$$
由于 $F(0) = 0$，代入上式得到 $C = 0$。因此：
$$F^2(x) = {e}^{2x}-2x$$
$$F(x) = \sqrt{{e}^{2x}-2x}$$
由于 $F'(x) = f(x)$，则：
$$f(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{{e}^{2x}-2x} = \frac{1}{2\sqrt{{e}^{2x}-2x}}\cdot (2{e}^{2x}-2) = \frac{{e}^{2x}-1}{\sqrt{{e}^{2x}-2x}}$$