例 9-6 一同轴电缆,由长直导体圆柱和套在它外面的导体圆筒组成。导体圆-|||-柱半径为R1,导体圆筒的内外半径分别为R2和R3。柱与筒之间充满磁导率为μ-|||-的均匀磁介质。导体圆柱和圆筒上均匀通有大小相等,方向相反的电流。求磁场的-|||-分布。

本题考查安培环路定理在同轴电缆磁场分布问题中的应用，关键在于利用磁场的轴对称性选取合适的圆形环路，计算不同半径范围内环路包围的电流，进而求解磁场强度$H$和磁感应强度$B$。

1. 圆柱体内的磁场（$r < R_1$）

• 对称性分析：磁场呈轴对称分布，取圆心在轴线上、半径为$r$的圆形环路$L$，环路上各点$H$大小相等、方向沿切线。
• 包围电流计算：环路包围的电流$I'$是导体圆柱中半径$r$以内的部分，电流密度$j = \frac{I}{\pi R_1^2}$，故$I' = j \cdot \pi r^2 = \frac{I r^2}{R_1^2}$。
• 安培环路定理：$\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = H \cdot 2\pi r = I'$，解得$H = \frac{I r}{2\pi R_1^2}$。
• 磁感应强度：导体内部为真空，$B = \mu_0 H = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R_1^2}$。

2. 柱体与筒之间的磁介质（$R_1 < r < R_2$）

• 包围电流：环路包围导体圆柱的总电流$I$（方向与圆筒电流相反）。
• 安培环路定理：$\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = H \cdot 2\pi r = I$，解得$H = \frac{I}{2\pi r}$。
• 磁感应强度：磁介质中$B = \mu H = \frac{\mu I}{2\pi r}$。

3. 导体圆筒内的磁场（$R_2 < r < R_3$）

• 包围电流：环路包围导体圆柱电流$I$和圆筒内半径$r$以内的电流$I''$。圆筒电流密度$j' = \frac{I}{\pi (R_3^2 - R_2^2)}$，故$I'' = j' \cdot \pi (r^2 - R_2^2) = \frac{I (r^2 - R_2^2)}{R_3^2 - R_2^2}$。
• 总包围电流：$I_{\text{总}} = I - I'' = \frac{I (R_3^2 - r^2)}{R_3^2 - R_2^2}$。
• 磁场强度：$H = \frac{I (R_3^2 - r^2)}{2\pi r (R_3^2 - R_2^2)}$，磁感应强度$B = \mu_0 H$（圆筒内为真空）。

4. 圆筒外的磁场（$r > R_3$）

• 包围电流：总电流$I - I = 0$（圆柱与圆筒电流抵消）。
• 磁场强度：$H = 0$，磁感应强度$B = 0$。