题目

设工厂A到铁路线的垂直距离为20km，垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C，现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转站，再由车站D向工厂A修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么D应选在何处，才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？

题目解答

答案

解：设BD之间的距离为xkm，从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需运费为y，则|AD|= x2+400，|CD|=100-x，

如果公路运费为a元/km，那么铁路运费为 35a元/km．

所以y= 35a×||||||CD+a×||||||AD= 35a⎛ ⎛⎜ ⎜⎝⎞⎟⎠100-x+a x2+400⎛ ⎛⎜ ⎜⎝⎞⎟⎠0≤x≤100，

所以y'=- 35a+ ax x2+400，令y'=0，则x=15或x=-15⎛ ⎛⎜ ⎜⎝⎞⎟⎠舍去，

且x=15是函数在定义域内唯一的极值点，所以x=15是函数最小值点．
由此可知，车站D建于B，C之间且与B相距15km处时，运费最省．

故答案为：

车站D建于B，C之间且与B相距15km处时，运费最省．

本题是一个应用题，关键是将实际问题转化为数学问题，这就需要认真审题，搞清楚题目的含义，特别是题中出现的各个量之间的关系，然后列式计算.

解析

步骤 1：定义变量
设BD之间的距离为xkm，从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需运费为y，则|AD|= x2+400，|CD|=100-x。
步骤 2：运费计算
如果公路运费为a元/km，那么铁路运费为 35a元/km．
步骤 3：建立运费函数
所以y= 35a×||||||CD+a×||||||AD= 35a⎛ ⎛⎜ ⎜⎝⎞⎟⎠100-x+a x2+400⎛ ⎛⎜ ⎜⎝⎞⎟⎠0≤x≤100，
步骤 4：求导数
所以y'=- 35a+ ax x2+400，
步骤 5：求极值点
令y'=0，则x=15或x=-15⎛ ⎛⎜ ⎜⎝⎞⎟⎠舍去，
步骤 6：确定最小值点
且x=15是函数在定义域内唯一的极值点，所以x=15是函数最小值点．