求int_(L)(x+y)dx+(y-x)dy，其中L为从点(1,1)到(4,2)的直线段.A. 10B. 11C. 12D. 13

本题考查对坐标的曲线积分的计算，解题思路是先求出直线段$L$的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分进行计算。

1. 求直线段$L$的参数方程：
   已知直线段$L$过点$(1,1)$和$(4,2)$，设直线$L$的参数方程为$\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt\end{cases}$（$t$为参数）。
   先求直线的方向向量$\overrightarrow{s}=(4 - 1,2 - 1)=(3,1)$，则参数方程为$\begin{cases}x = 1 + 3t\\y = 1 + t\end{cases}$。
   当$x = 1$，$y = 1$时，$t = 0$；当$x = 4$，$y = 2$时，$t = 1$，所以$t$的取值范围是$[0,1]$。
2. 计算$dx$和$dy$：
   对$x = 1 + 3t$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$dx = 3dt$。
   对$y = 1 + t$求导，可得$dy = dt$。
3. 将参数方程及$dx$、$dy$代入曲线积分：
   把$\begin{cases}x = 1 + 3t\\y = 1 + t\end{cases}$，$dx = 3dt$，$dy = dt$代入$\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy$中，得到：
   $\begin{align*}&\int_{0}^{1}[(1 + 3t)+(1 + t)]\cdot 3dt+[(1 + t)-(1 + 3t)]\cdot dt\\=&\int_{0}^{1}(2 + 4t)\cdot 3dt+( - 2t)\cdot dt\\=&\int_{0}^{1}(6 + 12t - 2t)dt\\=&\int_{0}^{1}(6 + 10t)dt\end{align*}$
4. 计算定积分：
   根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：
   $\begin{align*}\int_{0}^{1}(6 + 10t)dt&=\int_{0}^{1}6dt+\int_{0}^{1}10tdt\\&=6t\big|_{0}^{1}+10\times\frac{1}{2}t^2\big|_{0}^{1}\\&=6\times(1 - 0)+5\times(1^2 - 0^2)\\&=6 + 5\\&= 11\end{align*}$