题目
lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+{x)^2)}(sec x-cos x).
.
题目解答
答案
根据题意，要计算极限的值。
注意到，极限
。
再利用等价无穷小替换
，得
。
即
。
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$，因此原式可以写为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\dfrac{1}{\cos x}-\cos x}$。
步骤 2：进一步化简
将分母合并，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos x}}$，利用三角恒等式$1-\cos^2 x = \sin^2 x$，进一步化简为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}}$。
步骤 3：应用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$\ln (1+x^2) \sim x^2$，$\sin^2 x \sim x^2$，因此原式可以近似为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x^2}{\dfrac{x^2}{\cos x}}$。
步骤 4：计算极限
化简得到$\lim _{x\rightarrow 0}\cos x = 1$，因此原极限值为$1$。
首先，我们注意到$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$，因此原式可以写为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\dfrac{1}{\cos x}-\cos x}$。
步骤 2：进一步化简
将分母合并，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos x}}$，利用三角恒等式$1-\cos^2 x = \sin^2 x$，进一步化简为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}}$。
步骤 3：应用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$\ln (1+x^2) \sim x^2$，$\sin^2 x \sim x^2$，因此原式可以近似为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x^2}{\dfrac{x^2}{\cos x}}$。
步骤 4：计算极限
化简得到$\lim _{x\rightarrow 0}\cos x = 1$，因此原极限值为$1$。