问λ,μ为何值时,齐次线性方程组 ) lambda (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=0 (x)_(1)+mu (x)_(2)+(x)_(3)=0 (x)_(1)+2mu (x)_(2)+(x)_(3)=0 . ,有非零解?

本题考查齐次线性方程组有非零解的条件以及三阶行列式的计算。解题思路是先根据齐次线性方程组有非零解的充要条件，得出系数行列式等于零，然后计算该三阶行列式，最后求解行列式等于零的方程得到$\lambda$和$\mu$的值。

1. 根据齐次线性方程组有非零解的条件列出方程：
   对于齐次线性方程组$Ax = 0$（$A$为系数矩阵，$x$为未知数向量），它有非零解的充要条件是系数矩阵$A$的行列式$\vert A\vert = 0$。
   已知齐次线性方程组$\begin{cases}\lambda x_1 + x_2 + x_3 = 0\\x_1 + \mu x_2 + x_3 = 0\\x_1 + 2\mu x_2 + x_3 = 0\end{cases}$，其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}\lambda&1&1\\1&\mu&1\\1&2\mu&1\end{pmatrix}$，所以有$\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\mu&1\\1&2\mu&1\end{vmatrix}=0$。
2. 计算三阶行列式的值：
   根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，对$\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\mu&1\\1&2\mu&1\end{vmatrix}$进行计算：
   $\begin{align*}\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\mu&1\\1&2\mu&1\end{vmatrix}&=\lambda\begin{vmatrix}\mu&1\\2\mu&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&\mu\\1&2\mu\end{vmatrix}\\&=\lambda(\mu\times1 - 2\mu\times1)-1\times(1\times1 - 1\times1)+1\times(1\times2\mu - 1\times\mu)\\&=\lambda(\mu - 2\mu)-1\times(1 - 1)+1\times(2\mu - \mu)\\&=\lambda\times(-\mu)-1\times0 + 1\times\mu\\&=-\lambda\mu + \mu\\&=-\mu(\lambda - 1)\end{align*}$
3. 求解$\lambda$和$\mu$的值：
   由$-\mu(\lambda - 1)=0$，根据乘法的性质，要使乘积为$0$，则至少有一个因子为$0$，可得$\lambda - 1 = 0$或$\mu = 0$，即$\lambda = 1$或$\mu = 0$。