题目
已知三点A(1，2，3)，B(3，4，5)，C(2，4，7)，则△ABC的面积为()。A. 14B. 5z^C. 2z^D. z^
已知三点A(1，2，3)，B(3，4，5)，C(2，4，7)，则△ABC的面积为()。
- A. 14
- B. 5
- C. 2
- D.
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：计算向量AB和AC
向量AB = B - A = (3 - 1, 4 - 2, 5 - 3) = (2, 2, 2)
向量AC = C - A = (2 - 1, 4 - 2, 7 - 3) = (1, 2, 4)
步骤 2：计算向量AB和AC的叉乘
向量AB和AC的叉乘为：
AB × AC = | i j k |
| 2 2 2 |
| 1 2 4 |
= i(2×4 - 2×2) - j(2×4 - 2×1) + k(2×2 - 2×1)
= i(8 - 4) - j(8 - 2) + k(4 - 2)
= 4i - 6j + 2k
= (4, -6, 2)
步骤 3：计算叉乘向量的模长
叉乘向量的模长为：
|AB × AC| = √(4^2 + (-6)^2 + 2^2) = √(16 + 36 + 4) = √56 = 2√14
步骤 4：计算三角形ABC的面积
三角形ABC的面积为：
S = 1/2 * |AB × AC| = 1/2 * 2√14 = √14
向量AB = B - A = (3 - 1, 4 - 2, 5 - 3) = (2, 2, 2)
向量AC = C - A = (2 - 1, 4 - 2, 7 - 3) = (1, 2, 4)
步骤 2：计算向量AB和AC的叉乘
向量AB和AC的叉乘为：
AB × AC = | i j k |
| 2 2 2 |
| 1 2 4 |
= i(2×4 - 2×2) - j(2×4 - 2×1) + k(2×2 - 2×1)
= i(8 - 4) - j(8 - 2) + k(4 - 2)
= 4i - 6j + 2k
= (4, -6, 2)
步骤 3：计算叉乘向量的模长
叉乘向量的模长为：
|AB × AC| = √(4^2 + (-6)^2 + 2^2) = √(16 + 36 + 4) = √56 = 2√14
步骤 4：计算三角形ABC的面积
三角形ABC的面积为：
S = 1/2 * |AB × AC| = 1/2 * 2√14 = √14