积分(int )_(0)^+infty dfrac (xln x)({x)^2+1}dx-|||-__

考查要点：本题主要考查广义积分（反常积分）在无穷区间的收敛性判断，重点在于比较判别法的应用。

解题核心思路：
当被积函数在无穷远处的表现难以直接判断时，可以通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来推断原积分的性质。关键在于找到一个合适的比较函数，并确定两者在积分区间末尾部分的大小关系。

破题关键点：

1. 观察被积函数渐进行为：当$x \to +\infty$时，分母$x^2+1 \approx x^2$，分子$x \ln x$的增长速度较慢。
2. 构造比较函数：利用$\ln x \geq 1$（当$x \geq e$时成立），将原被积函数$\frac{x \ln x}{x^2+1}$与$\frac{x}{x^2+1}$比较，后者积分已知发散。
3. 应用比较判别法：若原被积函数在$x \geq e$时始终大于等于$\frac{x}{x^2+1}$，则原积分发散。

步骤1：确定比较区间
当$x \geq e$时，$\ln x \geq 1$，因此：
$\frac{x \ln x}{x^2+1} \geq \frac{x}{x^2+1}.$

步骤2：分析比较积分的收敛性
计算积分$\int_{e}^{+\infty} \frac{x}{x^2+1} \, dx$：
$\begin{aligned}\int \frac{x}{x^2+1} \, dx &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt \quad (\text{令} \, t = x^2+1) \\&= \frac{1}{2} \ln |t| + C \\&= \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C.\end{aligned}$
因此，
$\int_{e}^{+\infty} \frac{x}{x^2+1} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{1}{2} \ln(b^2+1) - \frac{1}{2} \ln(e^2+1) \right] = +\infty.$
该积分发散。

步骤3：应用比较判别法
由于$\frac{x \ln x}{x^2+1} \geq \frac{x}{x^2+1}$且后者积分发散，根据比较判别法，原积分$\int_{e}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^2+1} \, dx$也发散。
进一步地，原积分$\int_{1}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^2+1} \, dx$由$\int_{1}^{e} \cdots$（有限部分）和$\int_{e}^{+\infty} \cdots$（发散部分）组成，因此整体发散。