题目
下列命题中, 正确的是()A. 设 f(z)=(z-z_0)^-mvarphi(z), varphi(z) 在 z_0 点解析, m 为 自然数, 则 z_0 为 f(z) 的 m 级极点.B. 如果无穷远点 infty 是函数 f(z) 的可去奇点, 那么 Res[f(z),infty]=0C. 若 z=0 为偶函数 f(z) 的一个孙立奇点, 则 Res[f(z),0]=0D. 若 int_(c)f(z),dz=0, 则 f(z) 在 c 内无奇点
下列命题中, 正确的是()
A. 设 $f(z)=(z-z_0)^{-m}\varphi(z)$, $\varphi(z)$ 在 $z_0$ 点解析, $m$ 为 自然数, 则 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 级极点.
B. 如果无穷远点 $\infty$ 是函数 $f(z)$ 的可去奇点, 那么 $Res[f(z),\infty]=0$
C. 若 $z=0$ 为偶函数 $f(z)$ 的一个孙立奇点, 则 $Res[f(z),0]=0$
D. 若 $\int_{c}f(z)\,dz=0$, 则 $f(z)$ 在 $c$ 内无奇点
题目解答
答案
BC
B. 如果无穷远点 $\infty$ 是函数 $f(z)$ 的可去奇点, 那么 $Res[f(z),\infty]=0$
C. 若 $z=0$ 为偶函数 $f(z)$ 的一个孙立奇点, 则 $Res[f(z),0]=0$
B. 如果无穷远点 $\infty$ 是函数 $f(z)$ 的可去奇点, 那么 $Res[f(z),\infty]=0$
C. 若 $z=0$ 为偶函数 $f(z)$ 的一个孙立奇点, 则 $Res[f(z),0]=0$
解析
步骤 1：分析选项A
设 $f(z) = (z - z_0)^{-m} \varphi(z)$，其中 $\varphi(z)$ 在 $z_0$ 点解析。若 $\varphi(z_0) = 0$，则极点阶数可能小于 $m$，故选项A错误。
步骤 2：分析选项B
无穷远点 $\infty$ 是可去奇点时，$f(1/z)$ 在 $z = 0$ 解析，其 Laurent 级数无负幂项。因此，$\text{Res}[f(z), \infty] = 0$，选项B正确。
步骤 3：分析选项C
偶函数 $f(z)$ 的 Laurent 级数仅含偶次幂，无 $z^{-1}$ 项，故 $\text{Res}[f(z), 0] = 0$，选项C正确。
步骤 4：分析选项D
积分值为零时，$f(z)$ 在闭曲线内可能有奇点（如 $\frac{1}{z^2}$ 在单位圆内），故选项D错误。
设 $f(z) = (z - z_0)^{-m} \varphi(z)$，其中 $\varphi(z)$ 在 $z_0$ 点解析。若 $\varphi(z_0) = 0$，则极点阶数可能小于 $m$，故选项A错误。
步骤 2：分析选项B
无穷远点 $\infty$ 是可去奇点时，$f(1/z)$ 在 $z = 0$ 解析，其 Laurent 级数无负幂项。因此，$\text{Res}[f(z), \infty] = 0$，选项B正确。
步骤 3：分析选项C
偶函数 $f(z)$ 的 Laurent 级数仅含偶次幂，无 $z^{-1}$ 项，故 $\text{Res}[f(z), 0] = 0$，选项C正确。
步骤 4：分析选项D
积分值为零时，$f(z)$ 在闭曲线内可能有奇点（如 $\frac{1}{z^2}$ 在单位圆内），故选项D错误。