题目

设函数 f(x) 在区间 (a, b) 内可导. 证明: 导函数 f'(x) 在 (a, b) 内严格单调增加的充分必要条件是对 (a, b) 内任意的 x_1, x_2, x_3，当 x_1 < x_2 < x_3 时，(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1) < (f(x_3)-f(x_2))/(x_3-x_2).

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导. 证明: 导函数 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是对 $(a, b)$ 内任意的 $x_1, x_2, x_3$，当 $x_1 < x_2 < x_3$ 时，$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$.

题目解答

答案

我们来证明这个命题：

题目重述：

设函数 $ f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 内可导。
证明：
导函数 $ f'(x) $ 在 $ (a, b) $ 内严格单调增加的充分必要条件是：
对于任意 $ x_1 < x_2 < x_3 \in (a, b) $，有
$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}.$

一、必要性（⇒）：

假设：$ f'(x) $ 在 $ (a, b) $ 内严格单调增加。

要证：对任意 $ x_1 < x_2 < x_3 \in (a, b) $，有
$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}.$

证明思路：

利用拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）。

对区间 $[x_1, x_2]$ 和 $[x_2, x_3]$ 分别应用中值定理：

  • 存在 $ c_1 \in (x_1, x_2) $，使得
    $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c_1).$

  • 存在 $ c_2 \in (x_2, x_3) $，使得
    $\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} = f'(c_2).$

由于 $ c_1 < x_2 < c_2 $，而 $ f'(x) $ 是严格单调增加的，所以
$f'(c_1) < f'(c_2).$

即：
$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}.$

这就证明了必要性。

二、充分性（⇐）：

假设：对任意 $ x_1 < x_2 < x_3 \in (a, b) $，有
$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}.$

要证：$ f'(x) $ 在 $ (a, b) $ 内严格单调增加。

证明思路：

我们用反证法。

假设 $ f'(x) $ 在 $ (a, b) $ 内不是严格单调增加的，即存在两个点 $ x_1 < x_2 $，使得
$f'(x_1) \ge f'(x_2).$

我们构造一个矛盾。

考虑在 $ x_1 < x_2 < x_3 $ 的情况下，根据中值定理，有：

  • 存在 $ c_1 \in (x_1, x_2) $，使得
    $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c_1).$
  • 存在 $ c_2 \in (x_2, x_3) $，使得
    $\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} = f'(c_2).$

因为 $ c_1 < x_2 < c_2 $，所以如果 $ f'(x) $ 严格单调增加，应有 $ f'(c_1) < f'(c_2) $。

但是根据假设，我们有
$f'(c_1) \ge f'(c_2),$
这就导致了
$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \ge \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2},$
这与题设条件矛盾。

因此，假设不成立，即 $ f'(x) $ 在 $ (a, b) $ 内必须是严格单调增加的。

三、结论：

综上所述，我们证明了：

> 函数 $ f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 内可导，则其导函数 $ f'(x) $ 在 $ (a, b) $ 内严格单调增加的充分必要条件是：
> 对任意 $ x_1 < x_2 < x_3 \in (a, b) $，有
> $> \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}. >$

最终答案：

$\boxed{\text{已证：} f'(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 内严格单调增加} \iff \forall x_1 < x_2 < x_3 \in (a, b), \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}$

解析

本题考察导函数严格单调增加的充分必要条件，核心思路是利用拉格朗日中值定理及反证法进行证明，具体如下：

一、必要性（$f'(x)$严格单调增加$\Rightarrow$不等式成立）

证明思路：通过拉格朗日中值定理将区间差商转化为导数值，再利用导函数的严格单调性比较导数值大小。

  1. 应用拉格朗日中值定理：
    对区间$[x_1,x_2]$和$[x_2,x_3]$（$x_1 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c_1),\quad \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f'(c_2).$
  2. 利用导函数严格单调增加：
    因$c_1 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.$

二、充分性（不等式成立$\Rightarrow f'(x)$严格单调增加）

证明思路：用反证法，假设$f'(x)$不严格单调增加，推出与已知不等式矛盾的结论。

  1. 反证假设：假设存在$x_1
  2. 构造矛盾：对任意$x_3>x_2$，应用拉格朗日中值定理得：
    $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c_1)\quad (c_1\in(x_1,x_2)),\quad \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f'(c_2)\quad (c_2\in(x_2,x_3)).$
    因$c_1 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2},$
    这与已知不等式矛盾，故假设不成立，$f'(x)$必严格单调增加。