设f(x)是(-∞,+∞)内的连续函数,且满足, int _(0)^xf(x-t)tdt=e^x-x-1,求f(x)

考查要点：本题主要考查积分方程的求解方法，涉及变量替换和莱布尼茨积分法则的应用。关键在于将积分方程转化为可求导的形式，进而通过两次求导确定未知函数。

解题思路：

1. 变量替换：通过令$u = x - t$，将积分中的$f(x-t)$转化为$f(u)$，简化积分表达式。
2. 求导消去积分：对等式两边关于$x$求导，利用莱布尼茨积分法则，将积分方程转化为关于$\int_0^x f(u) du$的方程。
3. 再次求导：对新方程再次求导，直接得到$f(x)$的表达式。

破题关键：通过变量替换将积分转化为标准形式，两次求导消去积分符号，最终得到$f(x)$。

步骤1：变量替换
令$u = x - t$，则$t = x - u$，$dt = -du$。当$t$从$0$到$x$时，$u$从$x$到$0$。积分上下限交换并调整符号后，原式变为：
$\int_0^x f(u)(x - u) du = e^x - x - 1.$

步骤2：第一次求导
对等式两边关于$x$求导，左边使用莱布尼茨积分法则：
$\frac{d}{dx} \int_0^x f(u)(x - u) du = \int_0^x f(u) du + f(x) \cdot 0 = \int_0^x f(u) du.$
右边求导结果为：
$\frac{d}{dx} (e^x - x - 1) = e^x - 1.$
因此得到方程：
$\int_0^x f(u) du = e^x - 1 - x.$

步骤3：第二次求导
对上述方程两边再次求导：
$\frac{d}{dx} \int_0^x f(u) du = f(x),$
右边求导结果为：
$\frac{d}{dx} (e^x - 1 - x) = e^x - 1.$
因此得到：
$f(x) = e^x - 1 + 1 = e^x.$