题目
设函数 z=z(x,y) 由方程 ^3-3xyz=8 确定,求 dfrac ({a)^2z}(a{x)^2partial y}(|)_(x-a)
题目解答
答案
解析
步骤 1：对给定方程关于x求偏导
给定方程为 ${z}^{3}-3xyz=8$，对x求偏导，得到：
$3{z}^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}-3yz-3xy\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$
步骤 2：整理得到 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$
整理上述方程，得到：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {3yz}{3{z}^{2}-3xy}$
步骤 3：对 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 关于y求偏导
对 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 关于y求偏导，得到：
$\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\dfrac {3z+3y\dfrac {\partial z}{\partial y}}{3{z}^{2}-3xy}-\dfrac {3yz(6z\dfrac {\partial z}{\partial y}-3y)}{{(3{z}^{2}-3xy)}^{2}}$
步骤 4：代入x=0求解
将x=0代入上述方程，得到：
$\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{x=0}=\dfrac {3z}{3{z}^{2}}=\dfrac {1}{z}$
步骤 5：求解z的值
将x=0代入原方程 ${z}^{3}-3xyz=8$，得到：
${z}^{3}=8$
解得：$z=2$
步骤 6：代入z的值求解
将z=2代入 $\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{x=0}=\dfrac {1}{z}$，得到：
$\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{x=0}=\dfrac {1}{2}$
给定方程为 ${z}^{3}-3xyz=8$，对x求偏导，得到：
$3{z}^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}-3yz-3xy\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$
步骤 2：整理得到 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$
整理上述方程，得到：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {3yz}{3{z}^{2}-3xy}$
步骤 3：对 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 关于y求偏导
对 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 关于y求偏导，得到：
$\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\dfrac {3z+3y\dfrac {\partial z}{\partial y}}{3{z}^{2}-3xy}-\dfrac {3yz(6z\dfrac {\partial z}{\partial y}-3y)}{{(3{z}^{2}-3xy)}^{2}}$
步骤 4：代入x=0求解
将x=0代入上述方程，得到：
$\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{x=0}=\dfrac {3z}{3{z}^{2}}=\dfrac {1}{z}$
步骤 5：求解z的值
将x=0代入原方程 ${z}^{3}-3xyz=8$，得到：
${z}^{3}=8$
解得：$z=2$
步骤 6：代入z的值求解
将z=2代入 $\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{x=0}=\dfrac {1}{z}$，得到：
$\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{x=0}=\dfrac {1}{2}$