(int )_(0)^dfrac (pi {4)}dfrac (x)(1+cos 2x)dx=( ) .(int )_(0)^dfrac (pi {4)}dfrac (x)(1+cos 2x)dx=(int )_(0)^dfrac (pi {4)}dfrac (x)(1+cos 2x)dx=(int )_(0)^dfrac (pi {4)}dfrac (x)(1+cos 2x)dx=(int )_(0)^dfrac (pi {4)}dfrac (x)(1+cos 2x)dx=

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及三角恒等式的应用、分部积分法以及对数函数的积分。

解题核心思路：

1. 简化分母：利用三角恒等式 $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$，将积分式转化为更易处理的形式。
2. 分部积分法：对 $\int x \sec^2 x \, dx$ 使用分部积分法，选择 $u = x$ 和 $dv = \sec^2 x \, dx$，从而将原积分转化为更简单的表达式。
3. 积分 $\int \tan x \, dx$：需熟练掌握 $\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$。

破题关键点：

• 正确应用三角恒等式简化分母。
• 合理选择分部积分中的 $u$ 和 $dv$，确保后续计算可行。
• 准确处理对数函数的积分结果，注意符号和上下限代入。

步骤1：简化积分式

利用三角恒等式 $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$，原积分变为：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{2\cos^2 x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx.$

步骤2：分部积分法

设 $u = x$，则 $du = dx$；设 $dv = \sec^2 x \, dx$，则 $v = \tan x$。根据分部积分公式：
$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$
得：
$\frac{1}{2} \left[ x \tan x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx \right].$

步骤3：计算边界项和剩余积分

1. 边界项：当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$\tan \frac{\pi}{4} = 1$；当 $x = 0$ 时，$\tan 0 = 0$，故：
   $x \tan x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{4}.$

2. 剩余积分：$\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$，代入上下限：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = \left[ -\ln |\cos x| \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \ln 1 = -\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right).$

步骤4：化简结果

将上述结果代入分部积分表达式：
$\frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{4} - \left( -\ln \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \ln \frac{\sqrt{2}}{2} \right).$

进一步化简 $\ln \frac{\sqrt{2}}{2}$：
$\ln \frac{\sqrt{2}}{2} = \ln 2^{-1/2} = -\frac{1}{2} \ln 2.$

最终结果为：
$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{\ln 2}{4}.$