利用拉氏变换求解微分方程''(t)-2y'(t)+y(t)=e',''(t)-2y'(t)+y(t)=e',(10分)

考查要点：本题主要考查利用拉普拉斯变换求解二阶常系数非齐次微分方程的能力，涉及拉普拉斯变换的导数性质、代数方程求解以及逆变换的卷积定理应用。

解题核心思路：

1. 对方程两边取拉普拉斯变换，将微分方程转化为关于$Y(s)$的代数方程；
2. 代入初始条件，解出$Y(s)$；
3. 分解$Y(s)$为已知拉普拉斯变换的函数组合，利用卷积定理或已知变换公式求逆变换。

破题关键点：

• 正确应用拉普拉斯变换的导数性质，注意初始条件为零时的简化；
• 识别分母形式$(s-1)^3$，联想到通过多次卷积或幂次公式求逆变换；
• 灵活运用卷积定理，将复杂分式分解为简单分式的乘积形式。

步骤1：对方程取拉普拉斯变换

对微分方程$y''(t)-2y'(t)+y(t)=e^t$两边取拉普拉斯变换：

• $L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s)$（因$y(0)=y'(0)=0$）
• $L[y'(t)] = sY(s) - y(0) = sY(s)$
• $L[y(t)] = Y(s)$
• $L[e^t] = \dfrac{1}{s-1}$

代入方程得：
$s^2Y(s) - 2sY(s) + Y(s) = \dfrac{1}{s-1}$

步骤2：解代数方程求$Y(s)$

整理方程：
$(s^2 - 2s + 1)Y(s) = \dfrac{1}{s-1} \implies (s-1)^2Y(s) = \dfrac{1}{s-1}$
解得：
$Y(s) = \dfrac{1}{(s-1)^3}$

步骤3：求逆变换

方法一（卷积定理）：

1. 分解$Y(s) = \dfrac{1}{(s-1)^2} \cdot \dfrac{1}{s-1}$；
2. 已知$L[e^t] = \dfrac{1}{s-1}$，故$L^{-1}\left[\dfrac{1}{(s-1)^2}\right] = t e^t$；
3. 由卷积定理：
   $y(t) = (t e^t) * e^t = \int_0^t \tau e^\tau \cdot e^{t-\tau} d\tau = e^t \int_0^t \tau d\tau = \dfrac{t^2}{2} e^t$

方法二（幂次公式）：
直接利用公式$L\left[\dfrac{t^{n}e^{at}}{n!}\right] = \dfrac{1}{(s-a)^{n+1}}$，此处$n=2$，$a=1$，得：
$y(t) = \dfrac{t^2}{2!} e^t = \dfrac{t^2}{2} e^t$