函数 f(x,y,z)=x+y^2+z^3 在点 (1,1,1) 处沿方向 vec(I)=(2,-2,1) 的方向导数为(）. A (1)/(9) B 6 C 1 D (1)/(3)

为了求函数 $ f(x, y, z) = x + y^2 + z^3 $ 在点 $(1, 1, 1)$ 处沿方向 $\vec{l} = (2, -2, 1)$ 的方向导数，我们需要使用方向导数的公式。函数 $ f $ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处沿单位向量 $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ 的方向导数由下式给出： \[ D_{\vec{u}} f(x_0, y_0, z_0) = \nabla f(x_0, y_0, z_0) \cdot \vec{u} \] 其中 $\nabla f$ 是 $ f $ 的梯度。 首先，我们需要找到 $ f $ 的梯度。梯度 $\nabla f$ 由下式给出： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \] 计算偏导数，我们得到： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2 \] 在点 $(1, 1, 1)$ 处，梯度为： \[ \nabla f(1, 1, 1) = (1, 2 \cdot 1, 3 \cdot 1^2) = (1, 2, 3) \] 接下来，我们需要将方向向量 $\vec{l} = (2, -2, 1)$ 归一化，以得到单位向量 $\vec{u}$。向量 $\vec{l}$ 的模为： \[ $\vec{l}$ = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 因此，单位向量 $\vec{u}$ 为： \[ \vec{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) \] 现在，我们可以计算方向导数： \[ D_{\vec{u}} f(1, 1, 1) = \nabla f(1, 1, 1) \cdot \vec{u} = (1, 2, 3) \cdot \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) = 1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) + 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 1 = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \] 因此，函数 $ f(x, y, z) = x + y^2 + z^3 $ 在点 $(1, 1, 1)$ 处沿方向 $\vec{l} = (2, -2, 1)$ 的方向导数为 $\boxed{\frac{1}{3}}$。 正确答案是 $\boxed{D}$。