题目
13.(本题满分10分)计算int x^2sqrt(1+x^2)dx.
13.(本题满分10分)计算$\int x^{2}\sqrt{1+x^{2}}dx$.
题目解答
答案
令 $I = \int x^2 \sqrt{1 + x^2} \, dx$，使用分部积分法：
1. 设 $u = x$，$dv = x \sqrt{1 + x^2} \, dx$，则 $v = \frac{1}{3} (1 + x^2)^{3/2}$。
2. 分部积分得：
$$
I = \frac{x}{3} (1 + x^2)^{3/2} - \frac{1}{3} \int (1 + x^2)^{3/2} \, dx
$$
3. 将 $\int (1 + x^2)^{3/2} \, dx$ 分解为：
$$
\int (1 + x^2)^{3/2} \, dx = \int \sqrt{1 + x^2} \, dx + I
$$
4. 代入并整理得：
$$
I = \frac{x}{4} (1 + x^2)^{3/2} - \frac{1}{4} \int \sqrt{1 + x^2} \, dx
$$
5. 计算 $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx$：
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{x \sqrt{1 + x^2} + \ln |x + \sqrt{1 + x^2}|}{2} + C
$$
6. 最终结果：
$$
\boxed{\frac{x}{4} (1 + x^2)^{3/2} - \frac{x}{8} \sqrt{1 + x^2} - \frac{1}{8} \ln |x + \sqrt{1 + x^2}| + C}
$$