题目

3.已知lim_(xtoinfty)(sqrt[3](1-x^3)-ax-b)=0，求a和b.

3.已知$\lim_{x\to\infty}(\sqrt[3]{1-x^{3}}-ax-b)=0$，求a和b.

题目解答

答案

令 $x = \frac{1}{t}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0$。原式变为： $$ \lim_{t \to 0} \left( \sqrt[3]{1 - \frac{1}{t^3}} - \frac{a}{t} - b \right) = 0 $$ 提取 $\frac{1}{t}$： $$ \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[3]{t^3 - 1} - a - bt}{t} = 0 $$ 分子在 $t \to 0$ 时趋于零，得 $a = -1$。代入并泰勒展开： $$ \sqrt[3]{t^3 - 1} \approx -1 + \frac{t^3}{3} $$ 分子变为： $$ \frac{t^3}{3} - bt $$ 极限为： $$ \lim_{t \to 0} \left( \frac{t^2}{3} - b \right) = -b $$ 故 $b = 0$。 **答案：** $a = -1$，$b = 0$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及多项式展开和泰勒展开的应用，以及通过变量替换处理无穷远处的极限问题。

解题核心思路：
当$x \to \infty$时，直接处理$\sqrt[3]{1 - x^3}$较为复杂。通过变量替换$x = \frac{1}{t}$，将极限转化为$t \to 0$的形式，简化计算。进一步通过泰勒展开展开三次根号表达式，提取关键项，从而确定$a$和$b$的值。

破题关键点：

变量替换：将无穷远处的极限转化为邻近原点的极限，便于展开。
泰勒展开：对$\sqrt[3]{t^3 - 1}$进行展开，保留低次项，忽略高阶无穷小。
系数匹配：通过分子极限为0的条件，逐步确定$a$和$b$的值。

变量替换与化简

令$x = \frac{1}{t}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$。原式变为：
$\lim_{t \to 0} \left( \sqrt[3]{1 - \frac{1}{t^3}} - \frac{a}{t} - b \right) = 0$
提取$\frac{1}{t}$，整理得：
$\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[3]{t^3 - 1} - a - bt}{t} = 0$

确定$a$的值

当$t \to 0$时，$\sqrt[3]{t^3 - 1} \approx \sqrt[3]{-1} = -1$，因此分子$\sqrt[3]{t^3 - 1} - a$必须趋近于0，即：
$-1 - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1$

确定$b$的值

将$a = -1$代入，分子变为：
$\sqrt[3]{t^3 - 1} + 1 - bt$
对$\sqrt[3]{t^3 - 1}$进行泰勒展开：
$\sqrt[3]{t^3 - 1} = -1 + \frac{t^3}{3} + o(t^3)$
代入分子得：
$\left( -1 + \frac{t^3}{3} \right) + 1 - bt = \frac{t^3}{3} - bt$
因此原式化简为：
$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^3}{3} - bt}{t} = \lim_{t \to 0} \left( \frac{t^2}{3} - b \right) = -b$
为使极限为0，需$-b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0$。