题目
求指导本题解题过程，谢谢您！5、 单选-|||-用幂级数求解方程 '=(y)^2+(x)^3 , (0)=dfrac (1)(2), 其解(幂级数-|||-形式)中x^4前面的系数为 __-|||-(3分)-|||-A dfrac (9)(32)-|||-B dfrac (1)(32)-|||-C) dfrac (9)(16)-|||-D dfrac (1)(16)
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：假设解的形式
假设方程 $y'={y}^{2}+{x}^{3}$ 的解可以表示为幂级数形式，即 $y(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots$。
步骤 2：求导
对 $y(x)$ 求导，得到 $y'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + \cdots$。
步骤 3：代入方程
将 $y(x)$ 和 $y'(x)$ 代入方程 $y'={y}^{2}+{x}^{3}$，得到：
$$a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + \cdots = (a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots)^2 + x^3$$
步骤 4：展开并比较系数
将右侧的平方项展开，然后比较等式两边相同幂次的系数，得到：
$$a_1 = a_0^2$$
$$2a_2 = 2a_0a_1$$
$$3a_3 = a_1^2 + 2a_0a_2$$
$$4a_4 = 2(a_0a_3 + a_1a_2) + 1$$
步骤 5：利用初始条件
利用初始条件 $y(0) = \frac{1}{2}$，得到 $a_0 = \frac{1}{2}$。
步骤 6：求解系数
根据步骤 5 的结果，依次求解 $a_1, a_2, a_3, a_4$：
$$a_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
$$2a_2 = 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \Rightarrow a_2 = \frac{1}{8}$$
$$3a_3 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{3}{16} \Rightarrow a_3 = \frac{1}{16}$$
$$4a_4 = 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{16}\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{8}\right) + 1 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1 = \frac{1}{8} + 1 = \frac{9}{8} \Rightarrow a_4 = \frac{9}{32}$$
假设方程 $y'={y}^{2}+{x}^{3}$ 的解可以表示为幂级数形式，即 $y(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots$。
步骤 2：求导
对 $y(x)$ 求导，得到 $y'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + \cdots$。
步骤 3：代入方程
将 $y(x)$ 和 $y'(x)$ 代入方程 $y'={y}^{2}+{x}^{3}$，得到：
$$a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + \cdots = (a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots)^2 + x^3$$
步骤 4：展开并比较系数
将右侧的平方项展开，然后比较等式两边相同幂次的系数，得到：
$$a_1 = a_0^2$$
$$2a_2 = 2a_0a_1$$
$$3a_3 = a_1^2 + 2a_0a_2$$
$$4a_4 = 2(a_0a_3 + a_1a_2) + 1$$
步骤 5：利用初始条件
利用初始条件 $y(0) = \frac{1}{2}$，得到 $a_0 = \frac{1}{2}$。
步骤 6：求解系数
根据步骤 5 的结果，依次求解 $a_1, a_2, a_3, a_4$：
$$a_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
$$2a_2 = 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \Rightarrow a_2 = \frac{1}{8}$$
$$3a_3 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{3}{16} \Rightarrow a_3 = \frac{1}{16}$$
$$4a_4 = 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{16}\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{8}\right) + 1 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1 = \frac{1}{8} + 1 = \frac{9}{8} \Rightarrow a_4 = \frac{9}{32}$$