题目

2. (2.0分) 设A为n阶矩阵，k是常数，|A|=a，则| kA^TA |=A. k^2a^2B. k^2aC. k^na^2D. ka^2

2. (2.0分) 设A为n阶矩阵，k是常数，|A|=a，则| $kA^{T}A$ |=

A. $k^{2}a^{2}$

B. $k^{2}a$

C. $k^{n}a^{2}$

D. $ka^{2}$

题目解答

答案

C. $k^{n}a^{2}$

解析

本题考查矩阵的转置、数乘以及行列式的性质。解题思路是根据矩阵行列式的的相关性质，逐步对$\vert kA^{T}A\vert$进行化简，最终得出结果。

  1. 根据数乘矩阵的行列式性质化简$\vert kA^{T}A\vert$)**
    • 数乘矩阵的行列式性质为：若$A$是$n$阶矩阵，$k\lambda$是常数，则$\vert\lambda A\vert = \lambda^{n}\vert A\vert$。
    • 在$kA^{T}A$是$n$阶矩阵，所以$\vert kA^{T}A\vert = k^{n}\vert A^{T}A\vert$。
  2. 根据矩阵乘积的行列式性质化简$\vert A^{T}A\vert$
    • 矩阵乘积的行列式性质为：若$A$、$B$是同阶方阵，则$\vert AB\vert = \vert A\vert\vert B\vert$。
    • 那么$\vert A^{T A\vert = \vert A^{T}\vert\vert A\vert$。
  3. 根据矩阵转置的行列式性质化简$\vert A^{T}\vert$
    • 矩阵转置的行列式性质为：$\vert A^{T}\vert = \vert A\vert$。
    • 已知$\vert A\vert = a$，所以$\vert A^{T}\vert = a$。
  4. 计算最终结果
    • 将$\vert A^{T}\vert = a$和$\vert A\vert = a$代入$\vert A^{T}A\vert = \vert A^{T}\vert\vert A\vert\vert$，可得$\vert A^{T}A\vert = a\times a = a^{2}$。
    • 再将$\vert A^{T}A\vert = a^{2}$代入$\vert kA^{T}A\vert = k^{n\vert A^{T}A\vert$，可得$\vert kA^{T}A\vert = k^{n}a^{2$。