题目
单选题（共25题，50.0分） 题型说明：2分/题 20.（2.0分）下列一定正确的是 A (A+B)^2=A^2+B^2+2AB B (A+B)(A-B)=A.^2+B.^2 C. (A+E)^2=A^2+2A+E D. (A-B)^2=A^2-2AB+B^2
单选题（共25题，50.0分） 题型说明：2分/题 20.（2.0分）下列一定正确的是 A $(A+B)^{2}=A^{2}+B^{2}+2AB$ B $(A+B)(A-B)=
A.^{2}+
B.^{2}$
C. $(A+E)^{2}=A^{2}+2A+E$
D. $(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$
A.^{2}+
B.^{2}$
C. $(A+E)^{2}=A^{2}+2A+E$
D. $(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$
题目解答
答案
展开各选项并分析：
- **选项A**：$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$，需满足 $AB = BA$，不恒成立。
- **选项B**：$(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$，需满足 $BA - AB = 2B^2$，不恒成立。
- **选项C**：$(A+E)^2 = A^2 + AE + EA + E^2 = A^2 + 2A + E$，恒成立。
- **选项D**：$(A-B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$，需满足 $AB = BA$，不恒成立。
**答案：C**
解析
本题考查矩阵运算的展开式是否恒成立，核心在于矩阵乘法不满足交换律（即一般情况下$AB \neq BA$）。需逐一展开各选项，判断是否在所有情况下成立：
- 选项A：$(A+B)^2$展开后含$AB+BA$，若$AB \neq BA$，则不成立；
- 选项B：$(A+B)(A-B)$展开后含$-AB+BA$，需满足特殊条件$BA-AB=2B^2$；
- 选项C：利用单位矩阵$E$与任意矩阵可交换的性质，展开后恒成立；
- 选项D：展开后含$-AB-BA$，若$AB \neq BA$，则不成立。
选项A
展开$(A+B)^2$：
$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$
若$AB \neq BA$，则$AB + BA \neq 2AB$，因此等式不成立。
选项B
展开$(A+B)(A-B)$：
$(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$
若等式等于$A^2 + B^2$，则需满足$-AB + BA = 2B^2$，一般情况下不成立。
选项C
展开$(A+E)^2$：
$(A+E)^2 = A^2 + AE + EA + E^2$
由于$E$与任意矩阵可交换，即$AE = EA = A$，且$E^2 = E$，代入得：
$A^2 + A + A + E = A^2 + 2A + E$
等式恒成立。
选项D
展开$(A-B)^2$：
$(A-B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$
若$AB \neq BA$，则$-AB - BA \neq -2AB$，等式不成立。