题目

设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(5)三个事件都不出现;

设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来. (1)A出现,B,C不出现; (2)A,B都出现,C不出现; (3)三个事件都出现; (4)三个事件至少有一个出现; (5)三个事件都不出现;

题目解答

答案

我们来逐个分析题目中的五个事件，用随机事件 $ A, B, C $ 及其运算（如交、并、补）来表示这些复合事件。以下是详细的解题过程： --- **(1) A出现，B、C不出现** - 要求：事件 $ A $ 发生，同时事件 $ B $ 不发生，事件 $ C $ 也不发生。 - “B不出现”表示为 $ \overline{B} $， “C不出现”表示为 $ \overline{C} $。 - 三个条件**同时**发生，因此用**交事件**（∩）连接。 - 所以该事件可表示为： $$ A \cap \overline{B} \cap \overline{C} $$ --- **(2) A、B都出现，C不出现** - 要求：$ A $ 发生，$ B $ 发生，$ C $ 不发生。 - 即：$ A \cap B \cap \overline{C} $ - 所以该事件可表示为： $$ A \cap B \cap \overline{C} $$ --- **(3) 三个事件都出现** - 要求：$ A $、$ B $、$ C $ 同时发生。 - 即三者的交集： $$ A \cap B \cap C $$ --- **(4) 三个事件至少有一个出现** - “至少有一个出现”表示 $ A $、$ B $、$ C $ 中**有一个或多个**发生。 - 这正是三个事件的**并事件**。 - 所以该事件为： $$ A \cup B \cup C $$ --- **(5) 三个事件都不出现** - 要求：$ A $ 不发生，且 $ B $ 不发生，且 $ C $ 不发生。 - 即：$ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} $ - 所以该事件可表示为： $$ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} $$ --- ### 最终答案： (1) $ A \cap \overline{B} \cap \overline{C} $ (2) $ A \cap B \cap \overline{C} $ (3) $ A \cap B \cap C $ (4) $ A \cup B \cup C $ (5) $ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} $ --- $$ \boxed{ \begin{aligned} &(1)\ A \cap \overline{B} \cap \overline{C} \\ &(2)\ A \cap B \cap \overline{C} \\ &(3)\ A \cap B \cap C \\ &(4)\ A \cup B \cup C \\ &(5)\ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} \end{aligned} } $$

解析

考查要点：本题主要考查对事件运算的理解，包括交事件（同时发生）、并事件（至少一个发生）、补事件（不发生）的组合应用。

解题核心思路：

  1. 明确事件描述：将题目中的自然语言转化为事件运算符号。
  2. 分步构建表达式：
    • “出现”直接用事件本身（如$A$）；
    • “不出现”用补集（如$\overline{A}$）；
    • “同时”用交集（$\cap$）；
    • “至少一个”用并集（$\cup$）；
    • “都不出现”用所有事件的补集交集。

第（1）题

要求：$A$出现，$B$和$C$不出现。

  1. 分解条件：
    • $A$出现：$A$；
    • $B$不出现：$\overline{B}$；
    • $C$不出现：$\overline{C}$。
  2. 组合逻辑：三个条件同时满足，因此用交集连接。
    最终表达式：
    $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

第（2）题

要求：$A$和$B$都出现，$C$不出现。

  1. 分解条件：
    • $A$出现：$A$；
    • $B$出现：$B$；
    • $C$不出现：$\overline{C}$。
  2. 组合逻辑：三个条件同时满足，因此用交集连接。
    最终表达式：
    $A \cap B \cap \overline{C}$

第（3）题

要求：三个事件都出现。

  1. 直接逻辑：$A$、$B$、$C$同时发生，即三者的交集。
    最终表达式：
    $A \cap B \cap C$

第（4）题

要求：三个事件至少有一个出现。

  1. 逻辑转化：“至少一个出现”等价于并集（只要有一个发生即可）。
    最终表达式：
    $A \cup B \cup C$

第（5）题

要求：三个事件都不出现。

  1. 分解条件：
    • $A$不出现：$\overline{A}$；
    • $B$不出现：$\overline{B}$；
    • $C$不出现：$\overline{C}$。
  2. 组合逻辑：三个条件同时满足，因此用交集连接。
    最终表达式：
    $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$