题目

已知十维向量组A:α1,α2,α3,α4,α5，则下列结论正确的是( )。A. 若A:α1,α2,α3,α4,α5线性相关，则向量组A:α1,α2,α3,α4,α5的秩小于等于3；B. 若A:α1,α2,α3,α4,α5线性相关，则向量组A:α1,α2,α3,α4,α5的秩小于等于4；C. 若A:α1,α2,α3,α4,α5线性无关，则向量组A:α1,α2,α3,α4,α5的秩等于5 D. 若A:α1,α2,α3,α4,α5线性无关，则向量组A:α1,α2,α3,α4,α5的秩等于3

已知十维向量组 $A:\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ ，则下列结论正确的是( )。

A. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，则向量组 $A$ 的秩小于等于3；

B. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关，则向量组 $A$ 的秩小于等于4；

C. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 线性无关，则向量组 $A$ 的秩等于5

D. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，则向量组 $A$ 的秩等于3

题目解答

答案

1. 选项 A：

若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，那么这三个向量构成的极大线性无关组所含向量个数小于等于2。

而向量组 $A$ 的秩等于向量组 $A$ 的极大线性无关组所含向量的个数，所以向量组 $A$ 的秩小于等于 $2+1=3$ （因为还可能有其他向量与这三个向量一起构成极大线性无关组）。

选项 A 正确。

2. 选项 B：

若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关，那么这四个向量构成的极大线性无关组所含向量个数小于等于3。

同理，向量组 $A$ 的秩小于等于3 + 1 = 4。

选项 B 正确。

3. 选项 C：

若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 线性无关，那么这五个向量构成的极大线性无关组就是它们本身，所以向量组 $A$ 的秩等于5。

选项 C 正确。

4. 选项 D：

若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，只能说明这三个向量构成的极大线性无关组所含向量个数为3，但向量组 $A$ 中还可能有其他向量与这三个向量一起构成更大的极大线性无关组，所以向量组 $A$ 的秩不一定等于3。

选项 D 错误。

综上，答案是 ABC。

解析

步骤 1：分析选项 A
若C1,α2,α3线性相关，那么这三个向量构成的极大线性无关组所含向量个数小于等于2。而向量组的秩等于向量组的极大线性无关组所含向量的个数，所以向量组的秩小于等于2+1=3（因为还可能有其他向量与这三个向量一起构成极大线性无关组）。
步骤 2：分析选项 B
若C1,α2,α3,α4线性相关，那么这四个向量构成的极大线性无关组所含向量个数小于等于3。同理，向量组的秩小于等于3 + 1 = 4。
步骤 3：分析选项 C
若C1,α2,α3,α4,α5线性无关，那么这五个向量构成的极大线性无关组就是它们本身，所以向量组的秩等于5。
步骤 4：分析选项 D
若C1,α2,α3线性无关，只能说明这三个向量构成的极大线性无关组所含向量个数为3，但向量组中还可能有其他向量与这三个向量一起构成更大的极大线性无关组，所以向量组的秩不一定等于3。