题目

17. 求曲面积分iintlimits_(sum)xdydz+ydzdxdz+zdxdy，其中sum是柱面x^2+y^2=1及平面z=0，z=3围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧.

17. 求曲面积分$\iint\limits_{\sum}xdydz+ydzdxdz+zdxdy$，其中$\sum$是柱面$x^{2}+y^{2}=1$及平面z=0，z=3围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧.

题目解答

答案

利用高斯公式，将曲面积分转换为三重积分。
其中，$P = x$，$Q = y$，$R = z$，则
$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$
原积分变为
$\iiint\limits_{\Omega} 3 \, dxdydz = 3 \times \text{体积}$
区域 $\Omega$ 为圆柱体，半径 $r = 1$，高 $h = 3$，体积 $V = \pi r^2 h = 3\pi$。
因此，积分值为
$3 \times 3\pi = 9\pi$
答案： $\boxed{9\pi}$

解析

本题考查利用高斯公式计算曲面积分。解题思路是先判断是否满足高斯公式的使用条件，若满足则将曲面积分转化为三重积分，再根据积分区域的特点计算三重积分。

  1. 判断是否满足高斯公式条件：
    • 已知$\sum$是柱面$x^{2}+y^{2}=1$及平面$z = 0$，$z = 3$围成的空间闭区域$\Omega$的整个边界曲面的外侧，这是一个封闭曲面且取外侧，同时函数$P = x$，$Q = y$，$R = z$在闭区域$\Omega$上具有一阶连续偏导数，满足高斯公式$\underset{\varSigma }{∯}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$的使用条件。
  2. 计算$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$：
    • 对$P = x$求关于$x$的偏导数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1$。
    • 对$Q = y$求关于$y$的偏导数，同理可得$\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial (y)}{\partial y}=1$。
    • 对$R = z$求关于$z$的偏导数，可得$\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial (z)}{\partial z}=1$。
    • 所以$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1 + 1 + 1 = 3$。
  3. 将曲面积分转化为三重积分：
    • 由高斯公式可得$\underset{\varSigma }{∯}xdydz+ydzdx+zdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }3dxdydz$。
  4. 计算三重积分$\underset{\varOmega }{\iiint }3dxdydz$：
    • 因为$\underset{\varOmega }{\iiint }3dxdydz = 3\underset{\varOmega }{\iiint }dxdydz$，而$\underset{\varOmega }{\iiint }dxdydz$表示区域$\Omega$的体积$V$。
    • 区域$\Omega$为圆柱体，其底面半径$r = 1$，高$h = 3$，根据圆柱体体积公式$V = \pi r^2 h$，可得$V = \pi\times1^2\times3 = 3\pi$。
    • 所以$3\underset{\varOmega }{\iiint }dxdydz = 3\times 3\pi = 9\pi$。