题目
有一道选择题,共有4个答案可供选择其中只有一个答案是正确的.任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案,如果不会解这道题,也可能通过试猜而选中正确答案其概率是.设考生会解这道题的概率是0.7,求考生选出正确答案的概率.考生在选出正确答案的前提下,确实会解这道题的概率.
有一道选择题,共有4个答案可供选择其中只有一个答案是正确的.任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案,如果不会解这道题,也可能通过试猜而选中正确答案其概率是.设考生会解这道题的概率是0.7,求考生选出正确答案的概率.考生在选出正确答案的前提下,确实会解这道题的概率.
题目解答
答案
解:设A表示选中正确答案B表示会解这道题(1)由全概率公式(2)由贝叶斯公式=0.903.
解析
步骤 1：定义事件
设A表示选中正确答案，B表示会解这道题。根据题意，考生会解这道题的概率是0.7，即P(B) = 0.7。如果考生不会解这道题，通过试猜选中正确答案的概率是1/4，即P(A|B') = 1/4，其中B'表示不会解这道题。
步骤 2：计算考生选出正确答案的概率
根据全概率公式，考生选出正确答案的概率P(A)可以表示为：
\[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B') \]
其中，P(A|B) = 1（会解题的考生一定能选出正确答案），P(B') = 1 - P(B) = 0.3（不会解题的概率）。
代入数值计算：
\[ P(A) = 1 \times 0.7 + \frac{1}{4} \times 0.3 = 0.7 + 0.075 = 0.775 \]
步骤 3：计算考生在选出正确答案的前提下确实会解这道题的概率
根据贝叶斯公式，考生在选出正确答案的前提下确实会解这道题的概率P(B|A)可以表示为：
\[ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \]
代入数值计算：
\[ P(B|A) = \frac{1 \times 0.7}{0.775} = \frac{0.7}{0.775} = \frac{28}{31} \approx 0.903 \]
设A表示选中正确答案，B表示会解这道题。根据题意，考生会解这道题的概率是0.7，即P(B) = 0.7。如果考生不会解这道题，通过试猜选中正确答案的概率是1/4，即P(A|B') = 1/4，其中B'表示不会解这道题。
步骤 2：计算考生选出正确答案的概率
根据全概率公式，考生选出正确答案的概率P(A)可以表示为：
\[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B') \]
其中，P(A|B) = 1（会解题的考生一定能选出正确答案），P(B') = 1 - P(B) = 0.3（不会解题的概率）。
代入数值计算：
\[ P(A) = 1 \times 0.7 + \frac{1}{4} \times 0.3 = 0.7 + 0.075 = 0.775 \]
步骤 3：计算考生在选出正确答案的前提下确实会解这道题的概率
根据贝叶斯公式，考生在选出正确答案的前提下确实会解这道题的概率P(B|A)可以表示为：
\[ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \]
代入数值计算：
\[ P(B|A) = \frac{1 \times 0.7}{0.775} = \frac{0.7}{0.775} = \frac{28}{31} \approx 0.903 \]