1 2 3-|||-例3.1.2 设A= 2 1 2 求 ^-1-|||-1 3 4

步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵 $(AE)$，其中 $E$ 是单位矩阵，即
$$
(AE) = \left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 2& 1& 2& 0& 1& 0\\ 1& 3& 4& 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，目标是将左侧的矩阵 $A$ 变换为单位矩阵 $I$，右侧的矩阵 $E$ 将变为 $A^{-1}$。
$$
\begin{align*}
(AE) &= \left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 2& 1& 2& 0& 1& 0\\ 1& 3& 4& 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \\
r_2 - 2r_1 &= \left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& -3& -4& -2& 1& 0\\ 1& 3& 4& 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \\
r_3 - r_1 &= \left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& -3& -4& -2& 1& 0\\ 0& 1& 1& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right. \\
r_2 + 3r_3 &= \left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& -5& 1& 3\\ 0& 1& 1& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right. \\
r_2 \times (-1) &= \left (\begin{matrix} 1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 5& -1& -3\\ 0& 1& 1& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right. \\
r_1 - 3r_2 &= \left (\begin{matrix} 1& 2& 0& -14& 3& 9\\ 0& 0& 1& 5& -1& -3\\ 0& 1& 1& -1& 0& 1\end{matrix} ) \right. \\
r_3 - r_2 &= \left (\begin{matrix} 1& 2& 0& -14& 3& 9\\ 0& 0& 1& 5& -1& -3\\ 0& 1& 0& -6& 1& 4\end{matrix} ) \right. \\
r_1 - 2r_3 &= \left (\begin{matrix} 1& 0& 0& -2& 1& 1\\ 0& 0& 1& 5& -1& -3\\ 0& 1& 0& -6& 1& 4\end{matrix} ) \right. \\
r_2 \leftrightarrow r_3 &= \left (\begin{matrix} 1& 0& 0& -2& 1& 1\\ 0& 1& 0& -6& 1& 4\\ 0& 0& 1& 5& -1& -3\end{matrix} ) \right.
\end{align*}
$$
步骤 3：得到逆矩阵
通过上述初等行变换，左侧的矩阵 $A$ 变换为单位矩阵 $I$，右侧的矩阵 $E$ 变为 $A^{-1}$，即
$$
A^{-1} = \left (\begin{matrix} -2& 1& 1\\ -6& 1& 4\\ 5& -1& -3\end{matrix} ) \right.
$$