题目
lim _(xarrow infty )xcdot sin dfrac (3)(x)=
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限形式
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \sin \dfrac {3}{x}$，可以看到当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac{3}{x}$ 趋向于 0。因此，可以考虑使用等价无穷小的性质来简化计算。
步骤 2：应用等价无穷小
当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac{3}{x}$ 趋向于 0，因此 $\sin \dfrac{3}{x}$ 可以用 $\dfrac{3}{x}$ 来近似，因为当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin \dfrac{3}{x}$ 和 $\dfrac{3}{x}$ 是等价无穷小。
步骤 3：计算极限
将 $\sin \dfrac{3}{x}$ 替换为 $\dfrac{3}{x}$，则原极限表达式变为 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \dfrac{3}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty }3 = 3$。
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \sin \dfrac {3}{x}$，可以看到当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac{3}{x}$ 趋向于 0。因此，可以考虑使用等价无穷小的性质来简化计算。
步骤 2：应用等价无穷小
当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac{3}{x}$ 趋向于 0，因此 $\sin \dfrac{3}{x}$ 可以用 $\dfrac{3}{x}$ 来近似，因为当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin \dfrac{3}{x}$ 和 $\dfrac{3}{x}$ 是等价无穷小。
步骤 3：计算极限
将 $\sin \dfrac{3}{x}$ 替换为 $\dfrac{3}{x}$，则原极限表达式变为 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\cdot \dfrac{3}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty }3 = 3$。