题目
17.设A= (} 1& 4& 2 0& -3& 4 0& 4& 3 ) . 求A^100.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求矩阵A的特征值
计算矩阵A的特征多项式，即求解 $|A-\lambda E|=0$，其中E是单位矩阵。特征多项式为：
$|A-\lambda E| = \left |\begin{matrix} 1-\lambda & 4& 2\\ 0& -3-\lambda & 4\\ 0& 4& 3-\lambda \end{matrix} | = (1-\lambda )(\lambda -5)(\lambda +5)$
解得特征值为 ${\lambda }_{1}=1$，${\lambda }_{2}=5$，${\lambda }_{3}=-5$。
步骤 2：求特征向量
对于每个特征值，求解 $(A-\lambda E)x=0$ 的非零解，即特征向量。
- 对于 ${\lambda }_{1}=1$，解方程 $(A-E)x=0$，得特征向量 ${p}_{1}={(1,0,0)}^{T}$。
- 对于 ${\lambda }_{2}=5$，解方程 $(A-5E)x=0$，得特征向量 ${p}_{2}={(2,1,2)}^{T}$。
- 对于 ${\lambda }_{3}=-5$，解方程 $(A+5E)x=0$，得特征向量 ${p}_{3}={(1,-2,1)}^{T}$。
步骤 3：构造矩阵P和对角矩阵D
令 $P=({P}_{1},{P}_{2},{P}_{3})$，则 $P=\left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right.$，且 $D=diag(1,5,-5)$。
步骤 4：计算 ${A}^{100}$
由于 $A=PDP^{-1}$，则 ${A}^{100}=PD^{100}P^{-1}$。其中 $D^{100}=diag(1,{5}^{100},{5}^{100})$，$P^{-1}=\dfrac {1}{5}\left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.$。
因此，${A}^{100}=\dfrac {1}{5}\left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right.$ $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& {5}^{100}& 0\\ 0& 0& {5}^{100}\end{matrix} ) \right.$ $\left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.$。
计算矩阵A的特征多项式，即求解 $|A-\lambda E|=0$，其中E是单位矩阵。特征多项式为：
$|A-\lambda E| = \left |\begin{matrix} 1-\lambda & 4& 2\\ 0& -3-\lambda & 4\\ 0& 4& 3-\lambda \end{matrix} | = (1-\lambda )(\lambda -5)(\lambda +5)$
解得特征值为 ${\lambda }_{1}=1$，${\lambda }_{2}=5$，${\lambda }_{3}=-5$。
步骤 2：求特征向量
对于每个特征值，求解 $(A-\lambda E)x=0$ 的非零解，即特征向量。
- 对于 ${\lambda }_{1}=1$，解方程 $(A-E)x=0$，得特征向量 ${p}_{1}={(1,0,0)}^{T}$。
- 对于 ${\lambda }_{2}=5$，解方程 $(A-5E)x=0$，得特征向量 ${p}_{2}={(2,1,2)}^{T}$。
- 对于 ${\lambda }_{3}=-5$，解方程 $(A+5E)x=0$，得特征向量 ${p}_{3}={(1,-2,1)}^{T}$。
步骤 3：构造矩阵P和对角矩阵D
令 $P=({P}_{1},{P}_{2},{P}_{3})$，则 $P=\left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right.$，且 $D=diag(1,5,-5)$。
步骤 4：计算 ${A}^{100}$
由于 $A=PDP^{-1}$，则 ${A}^{100}=PD^{100}P^{-1}$。其中 $D^{100}=diag(1,{5}^{100},{5}^{100})$，$P^{-1}=\dfrac {1}{5}\left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.$。
因此，${A}^{100}=\dfrac {1}{5}\left (\begin{matrix} 1& 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{matrix} ) \right.$ $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& {5}^{100}& 0\\ 0& 0& {5}^{100}\end{matrix} ) \right.$ $\left (\begin{matrix} 5& 0& -5\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{matrix} ) \right.$。