题目
求下列不定积分:-|||-int (x)^2(e)^-3(x^3+5)dx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分类型
观察积分 $\int {x}^{2}{e}^{-3{x}^{3}+5}dx$，可以发现它是一个复合函数的积分，其中 ${e}^{-3{x}^{3}+5}$ 是指数函数，而 ${x}^{2}$ 是指数函数内部的导数的一部分。这提示我们可以使用换元法来解决这个问题。
步骤 2：换元
设 $u = -3{x}^{3} + 5$，则 $du = -9{x}^{2}dx$。因此，${x}^{2}dx = -\frac{1}{9}du$。将这个换元代入原积分中，得到 $\int {x}^{2}{e}^{-3{x}^{3}+5}dx = \int -\frac{1}{9}{e}^{u}du$。
步骤 3：计算积分
现在积分变成了 $\int -\frac{1}{9}{e}^{u}du$，这是一个基本的指数函数积分。根据指数函数的积分公式，$\int {e}^{u}du = {e}^{u} + C$，所以 $\int -\frac{1}{9}{e}^{u}du = -\frac{1}{9}{e}^{u} + C$。
步骤 4：回代
将 $u = -3{x}^{3} + 5$ 回代到积分结果中，得到 $-\frac{1}{9}{e}^{-3{x}^{3}+5} + C$。
观察积分 $\int {x}^{2}{e}^{-3{x}^{3}+5}dx$，可以发现它是一个复合函数的积分，其中 ${e}^{-3{x}^{3}+5}$ 是指数函数，而 ${x}^{2}$ 是指数函数内部的导数的一部分。这提示我们可以使用换元法来解决这个问题。
步骤 2：换元
设 $u = -3{x}^{3} + 5$，则 $du = -9{x}^{2}dx$。因此，${x}^{2}dx = -\frac{1}{9}du$。将这个换元代入原积分中，得到 $\int {x}^{2}{e}^{-3{x}^{3}+5}dx = \int -\frac{1}{9}{e}^{u}du$。
步骤 3：计算积分
现在积分变成了 $\int -\frac{1}{9}{e}^{u}du$，这是一个基本的指数函数积分。根据指数函数的积分公式，$\int {e}^{u}du = {e}^{u} + C$，所以 $\int -\frac{1}{9}{e}^{u}du = -\frac{1}{9}{e}^{u} + C$。
步骤 4：回代
将 $u = -3{x}^{3} + 5$ 回代到积分结果中，得到 $-\frac{1}{9}{e}^{-3{x}^{3}+5} + C$。