14.设 (alpha )_(1)=(1,-1,2,4) (alpha )_(2)=(0,3,1,2), (alpha )_(3)=(3,0,7,14), (alpha )_(4)=(1,-1,2,0) (alpha )_(5)=(2,1,5,6)-|||-(1)证明α1,α2线性无关;-|||-(2)把α1,α2扩充成一极大线性无关组。

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性及极大线性无关组的求解方法。
解题思路：

1. 第（1）题：判断两个向量是否线性无关，只需验证它们是否成比例。
2. 第（2）题：在已知线性无关组的基础上，逐步加入新向量，通过线性相关性检验确定是否需要保留该向量，最终得到极大线性无关组。
   关键点：

• 线性无关的判定：向量组的秩等于向量个数时线性无关。
• 极大线性无关组的扩充：每次添加一个向量后，若仍线性无关则保留，否则舍弃。

第（1）题

证明α₁, α₂线性无关

1. 观察分量比例：
   α₁ = (1, -1, 2, 4)，α₂ = (0, 3, 1, 2)。
   第一个分量α₁为1，α₂为0，显然不成比例。
2. 结论：α₁, α₂线性无关。

第（2）题

将α₁, α₂扩充为极大线性无关组

1. 分析α₃：
   α₃ = 3α₁ + α₂，故α₃可由α₁, α₂线性表出，无需加入。
2. 分析α₄：
   • 构造方程组：$k_1α₁ + k_2α₂ + k_4α₄ = 0$。
   • 解得唯一解$k_1 = k_2 = k_4 = 0$，说明α₁, α₂, α₄线性无关。
3. 分析α₅：
   • 构造方程组：$k_1α₁ + k_2α₂ + k_4α₄ + k_5α₅ = 0$。
   • 系数矩阵秩为3，存在非零解，说明α₅可由α₁, α₂, α₄线性表出。
4. 结论：极大线性无关组为α₁, α₂, α₄。