题目
函数(x)=dfrac (x|x-1|)(sin pi x)的可去间断点的个数为 ( ).A. 1B. 2C. 3D. 4
函数
的可去间断点的个数为 ( ).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
题目解答
答案
本题主要考查了函数间断点的判断。
首先，我们分析函数 
。
1. 确定分母为零的点：由于分母中含有
，我们知道
当且仅当
，其中
。因此， 
，其中 。
2. 分析绝对值函数：函数中的绝对值
在 
处发生变化。
3. 判断间断点类型：
当 
时，由于，函数在这些点没有定义，因此它们是无穷间断点。
当 时，虽然分母不为零，但分子中的绝对值函数在此点改变符号，因此我们需要检查左右极限。由于 
，这意味着 是一个跳跃间断点。
4. 统计间断点数量：
无穷间断点有无数个（即除了 以外的所有整数点）。
跳跃间断点只有一个，即。
综上所述，函数 
的可去间断点只有一个，即。
故选：A.
解析
步骤 1：确定分母为零的点
函数$f(x)=\dfrac {x|x-1|}{\sin \pi x}$的分母为$\sin \pi x$，当$\sin \pi x=0$时，分母为零。由于$\sin \pi x=0$当且仅当$\pi x=k\pi$，其中$k\in \mathbb{Z}$，因此$x=k$，其中$k\in \mathbb{Z}$。这意味着函数在所有整数点$x=k$处分母为零。
步骤 2：分析绝对值函数
函数中的绝对值$|x-1|$在$x=1$处发生变化。当$x<1$时，$|x-1|=1-x$；当$x\geq 1$时，$|x-1|=x-1$。
步骤 3：判断间断点类型
- 当$x=k$且$k\neq 1$时，由于$\sin \pi x=0$，函数在这些点没有定义，因此它们是无穷间断点。
- 当$x=1$时，虽然分母不为零，但分子中的绝对值函数在此点改变符号，因此我们需要检查左右极限。由于$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=-\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)$，这意味着$x=1$是一个跳跃间断点。
步骤 4：统计间断点数量
- 无穷间断点有无数个（即除了$x=1$以外的所有整数点）。
- 跳跃间断点只有一个，即$x=1$。
综上所述，函数$f(x)=\dfrac {x|x-1|}{\sin \pi x}$的可去间断点只有一个，即$x=1$。
函数$f(x)=\dfrac {x|x-1|}{\sin \pi x}$的分母为$\sin \pi x$，当$\sin \pi x=0$时，分母为零。由于$\sin \pi x=0$当且仅当$\pi x=k\pi$，其中$k\in \mathbb{Z}$，因此$x=k$，其中$k\in \mathbb{Z}$。这意味着函数在所有整数点$x=k$处分母为零。
步骤 2：分析绝对值函数
函数中的绝对值$|x-1|$在$x=1$处发生变化。当$x<1$时，$|x-1|=1-x$；当$x\geq 1$时，$|x-1|=x-1$。
步骤 3：判断间断点类型
- 当$x=k$且$k\neq 1$时，由于$\sin \pi x=0$，函数在这些点没有定义，因此它们是无穷间断点。
- 当$x=1$时，虽然分母不为零，但分子中的绝对值函数在此点改变符号，因此我们需要检查左右极限。由于$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=-\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)$，这意味着$x=1$是一个跳跃间断点。
步骤 4：统计间断点数量
- 无穷间断点有无数个（即除了$x=1$以外的所有整数点）。
- 跳跃间断点只有一个，即$x=1$。
综上所述，函数$f(x)=\dfrac {x|x-1|}{\sin \pi x}$的可去间断点只有一个，即$x=1$。