1.求下列极限：（2）lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (ln sin x)({(pi -2x))^2}

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换和洛必达法则的应用，以及变量替换的技巧。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$时，$\sin x \rightarrow 1$，此时$\ln \sin x$可近似为$\sin x -1$（利用等价无穷小$\ln(1+t) \sim t$）。将原极限转化为$\dfrac{\sin x -1}{(\pi -2x)^2}$后，分子和分母均趋近于0，需多次应用洛必达法则求解。

破题关键点：

1. 识别等价无穷小：将$\ln \sin x$替换为$\sin x -1$。
2. 变量替换或多次求导：通过变量替换简化表达式，或直接对分子分母求导两次。

步骤1：等价无穷小替换

当$x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$时，$\sin x \rightarrow 1$，令$t = \sin x -1$，则$t \rightarrow 0$。根据等价无穷小$\ln(1+t) \sim t$，可得：
$\ln \sin x = \ln(1 + (\sin x -1)) \sim \sin x -1.$
因此，原极限等价于：
$\lim_{x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}} \frac{\sin x -1}{(\pi -2x)^2}.$

步骤2：应用洛必达法则

此时分子$\sin x -1 \rightarrow 0$，分母$(\pi -2x)^2 \rightarrow 0$，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式，需应用洛必达法则两次。

第一次求导

分子导数：$\dfrac{d}{dx}(\sin x -1) = \cos x$，
分母导数：$\dfrac{d}{dx}(\pi -2x)^2 = 2(\pi -2x)(-2) = -4(\pi -2x)$。
极限变为：
$\lim_{x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{-4(\pi -2x)}.$

第二次求导

此时分子$\cos x \rightarrow 0$，分母$\pi -2x \rightarrow 0$，仍为$\dfrac{0}{0}$型。继续求导：
分子导数：$\dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$，
分母导数：$\dfrac{d}{dx}(-4(\pi -2x)) = -4(-2) = 8$。
极限变为：
$\lim_{x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}} \frac{-\sin x}{8} = \frac{-1}{8}.$