题目
曲面 xy^2+z^3=12上的点 (1,-2,2)处的切平面方程是 () A. -x-y+3z=7B. x+y+3z=5C. -x+y+3z=3D. x-y+3z=9
$$ 曲面 $xy^{2}+z^{3}=12$上的点 $(1,-2,2)$处的切平面方程是 () $$
A. $-x-y+3z=7$
B. $x+y+3z=5$
C. $-x+y+3z=3$
D. $x-y+3z=9$
题目解答
答案
D. $x-y+3z=9$
解析
步骤 1：确定曲面方程和点
给定曲面方程为 $xy^{2}+z^{3}=12$，点 $(1,-2,2)$ 在曲面上。
步骤 2：计算偏导数
计算曲面方程在点 $(1,-2,2)$ 处的偏导数。
- 对于 $x$ 的偏导数：$\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}+z^{3})=y^{2}$，在点 $(1,-2,2)$ 处的值为 $(-2)^{2}=4$。
- 对于 $y$ 的偏导数：$\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+z^{3})=2xy$，在点 $(1,-2,2)$ 处的值为 $2(1)(-2)=-4$。
- 对于 $z$ 的偏导数：$\frac{\partial}{\partial z}(xy^{2}+z^{3})=3z^{2}$，在点 $(1,-2,2)$ 处的值为 $3(2)^{2}=12$。
步骤 3：确定切平面方程
切平面方程为 $4(x-1)-4(y+2)+12(z-2)=0$，化简得 $x-y+3z=9$。
给定曲面方程为 $xy^{2}+z^{3}=12$，点 $(1,-2,2)$ 在曲面上。
步骤 2：计算偏导数
计算曲面方程在点 $(1,-2,2)$ 处的偏导数。
- 对于 $x$ 的偏导数：$\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}+z^{3})=y^{2}$，在点 $(1,-2,2)$ 处的值为 $(-2)^{2}=4$。
- 对于 $y$ 的偏导数：$\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+z^{3})=2xy$，在点 $(1,-2,2)$ 处的值为 $2(1)(-2)=-4$。
- 对于 $z$ 的偏导数：$\frac{\partial}{\partial z}(xy^{2}+z^{3})=3z^{2}$，在点 $(1,-2,2)$ 处的值为 $3(2)^{2}=12$。
步骤 3：确定切平面方程
切平面方程为 $4(x-1)-4(y+2)+12(z-2)=0$，化简得 $x-y+3z=9$。