设连续型随机变量的密度函数为-|||-_(x)(x)= ) kx,0lt xlt 4 0, .-|||-= __ h= __ i= __ (结果若不为整数,请-|||-用分数表示)

步骤 1：确定常数 k
根据概率密度函数的性质，整个区间上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{4} kx \, dx = 1
$$
解这个积分，得到：
$$
\frac{kx^2}{2} \Big|_{0}^{4} = 1
$$
$$
\frac{k \cdot 4^2}{2} = 1
$$
$$
8k = 1
$$
$$
k = \frac{1}{8}
$$

步骤 2：确定分布函数 $F_x(x)$
分布函数 $F_x(x)$ 是概率密度函数 $f_x(x)$ 的积分。因此，我们有：
$$
F_x(x) = \int_{-\infty}^{x} f_x(t) \, dt
$$
对于 $x < 0$，$f_x(x) = 0$，所以 $F_x(x) = 0$。
对于 $0 \leq x < 4$，$f_x(x) = \frac{1}{8}x$，所以：
$$
F_x(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{8}t \, dt = \frac{1}{16}x^2
$$
对于 $x \geq 4$，$f_x(x) = 0$，所以 $F_x(x) = 1$。

步骤 3：计算 $P(3 \leq X < 5)$
根据分布函数，我们有：
$$
P(3 \leq X < 5) = F_x(5) - F_x(3)
$$
由于 $F_x(5) = 1$，$F_x(3) = \frac{1}{16} \cdot 3^2 = \frac{9}{16}$，所以：
$$
P(3 \leq X < 5) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}
$$

步骤 4：确定随机变量 Y=2X+1 的密度函数
根据变换公式，我们有：
$$
f_Y(y) = f_X\left(\frac{y-1}{2}\right) \cdot \left|\frac{d}{dy}\left(\frac{y-1}{2}\right)\right|
$$
由于 $f_X(x) = \frac{1}{8}x$，所以：
$$
f_Y(y) = \frac{1}{8} \cdot \frac{y-1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{32}(y-1)
$$
对于 $1 < y < 9$，$f_Y(y) = \frac{1}{32}(y-1)$，对于其它情况，$f_Y(y) = 0$。