题目
求int({{( 2x+1 ))^10}dx}．
求$\int{{{\left( 2x+1 \right)}^{10}}dx}$．
题目解答
答案
$\dfrac{1}{22}{{\left( 2x+1 \right)}^{11}}+C$．
解析
步骤 1：识别积分类型
给定的积分是$\int{{{\left( 2x+1 \right)}^{10}}dx}$，这是一个幂函数的积分，其中幂函数的底是线性函数$2x+1$。
步骤 2：使用换元法
设$u=2x+1$，则$du=2dx$，从而$dx=\frac{1}{2}du$。将$u$和$dx$的表达式代入原积分中，得到$\int{{{\left( u \right)}^{10}}\cdot\frac{1}{2}du}$。
步骤 3：计算积分
根据幂函数的积分公式$\int{{u}^{n}du}=\frac{1}{n+1}{{u}^{n+1}}+C$，其中$n\neq-1$，计算得到$\frac{1}{2}\int{{{\left( u \right)}^{10}}du}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{11}{{u}^{11}}+C=\frac{1}{22}{{u}^{11}}+C$。
步骤 4：回代$u=2x+1$
将$u=2x+1$代回，得到$\frac{1}{22}{{\left( 2x+1 \right)}^{11}}+C$。
给定的积分是$\int{{{\left( 2x+1 \right)}^{10}}dx}$，这是一个幂函数的积分，其中幂函数的底是线性函数$2x+1$。
步骤 2：使用换元法
设$u=2x+1$，则$du=2dx$，从而$dx=\frac{1}{2}du$。将$u$和$dx$的表达式代入原积分中，得到$\int{{{\left( u \right)}^{10}}\cdot\frac{1}{2}du}$。
步骤 3：计算积分
根据幂函数的积分公式$\int{{u}^{n}du}=\frac{1}{n+1}{{u}^{n+1}}+C$，其中$n\neq-1$，计算得到$\frac{1}{2}\int{{{\left( u \right)}^{10}}du}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{11}{{u}^{11}}+C=\frac{1}{22}{{u}^{11}}+C$。
步骤 4：回代$u=2x+1$
将$u=2x+1$代回，得到$\frac{1}{22}{{\left( 2x+1 \right)}^{11}}+C$。