没D是由 =(y)^2 与 y=x-2 所围成的闭区域,求二重积分 (iint )_(D)ydxdy.

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及积分区域的确定和积分次序的选择。关键在于正确联立曲线方程找到交点，确定积分上下限，并选择合适的积分次序简化计算。

解题思路：

1. 联立方程求交点：确定抛物线$x = y^2$与直线$y = x - 2$的交点，明确积分区域边界。
2. 选择积分次序：由于被积函数仅含$y$，优先选择先对$x$积分，再对$y$积分的$y$型区域。
3. 确定积分限：根据交点确定$y$的范围，再对每个$y$确定$x$的范围。
4. 逐层积分：先对$x$积分简化表达式，再对$y$积分求解。

步骤1：联立方程求交点

联立$x = y^2$与$y = x - 2$，代入得：
$y = y^2 - 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 - y - 2 = 0$
解得$y = 2$或$y = -1$，对应$x$值为：

• 当$y = 2$时，$x = 2 + 2 = 4$；
• 当$y = -1$时，$x = (-1)^2 = 1$。

交点为$(4, 2)$和$(1, -1)$。

步骤2：确定积分区域

选择$y$型积分，$y$的范围为$[-1, 2]$。对每个$y$，$x$的范围为：
$x_{\text{左}} = y^2 \quad \text{（抛物线）}, \quad x_{\text{右}} = y + 2 \quad \text{（直线）}$

步骤3：计算二重积分

原积分转化为：
$\iint_D y \, dx dy = \int_{-1}^{2} \left( \int_{y^2}^{y+2} y \, dx \right) dy$
内层积分：
$\int_{y^2}^{y+2} y \, dx = y \cdot \left[(y + 2) - y^2\right] = y(y + 2 - y^2)$
外层积分：
$\int_{-1}^{2} \left( y^2 + 2y - y^3 \right) dy$

步骤4：逐项积分

计算多项式积分：
$\begin{aligned}\int \left( y^2 + 2y - y^3 \right) dy &= \frac{1}{3}y^3 + y^2 - \frac{1}{4}y^4 + C\end{aligned}$

步骤5：代入上下限

代入$y = 2$和$y = -1$：
$\begin{aligned}\text{上限} \, y=2: & \quad \frac{1}{3}(8) + 4 - \frac{1}{4}(16) = \frac{8}{3} + 4 - 4 = \frac{8}{3} \\\text{下限} \, y=-1: & \quad \frac{1}{3}(-1) + 1 - \frac{1}{4}(1) = -\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \\\text{结果}: & \quad \frac{8}{3} - \frac{5}{12} = \frac{32}{12} - \frac{5}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\end{aligned}$