下列函数中，在点x=0处可导的是( )A、y=|x|B、y=sqrt(x)C、y=(x)^2D、y=ln x

考查要点：本题主要考查函数在某一点处的可导性判断，需要掌握导数的定义及左右导数的计算方法，并理解函数在某点可导的充要条件是左右导数存在且相等。

解题核心思路：

1. 分析每个选项的定义域，排除在$x=0$处无定义的选项；
2. 对于在$x=0$处有定义的函数，分别计算左导数和右导数；
3. 判断左右导数是否相等，若相等则可导，否则不可导。

破题关键点：

• 绝对值函数$y=|x|$在$x=0$处左右导数不相等；
• 根号函数$y=\sqrt{x}$在$x=0$处左导数不存在；
• 自然对数函数$y=\ln x$在$x=0$处无定义；
• 二次函数$y=x^2$在$x=0$处左右导数均为$0$，故可导。

选项分析

A、$y=|x|$

• 定义域：全体实数；
• 左右导数：
  • 当$x>0$时，$y=x$，导数为$1$，右导数为$1$；
  • 当$x<0$时，$y=-x$，导数为$-1$，左导数为$-1$；
  • 结论：左右导数不相等，不可导。

B、$y=\sqrt{x}$

• 定义域：$x \geq 0$；
• 左右导数：
  • 右导数：$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty$（不存在）；
  • 左导数：$x<0$时函数无定义，左导数不存在；
  • 结论：导数不存在，不可导。

C、$y=x^2$

• 定义域：全体实数；
• 左右导数：
  • 导数为$2x$，在$x=0$处导数为$0$；
  • 左右导数均为$0$，相等；
  • 结论：可导。

D、$y=\ln x$

• 定义域：$x > 0$；
• 结论：$x=0$处无定义，不可导。