题目

5.填空题lim_(ntoinfty)(1)/(6^n)=____.

5.填空题 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6^{n}}$=____.

题目解答

答案

当 $ n \to \infty $ 时，$ 6^n $ 趋于无穷大，因此 $ \frac{1}{6^n} $ 趋于 0。
或者，将 $ \frac{1}{6^n} $ 表示为 $ \left( \frac{1}{6} \right)^n $，由于 $ \frac{1}{6} \in (0, 1) $，其高次幂趋近于 0。
根据极限定义，对于任意正数 $ \epsilon $，存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，$ \left| \frac{1}{6^n} - 0 \right| < \epsilon $，故极限为 0。

答案： $\boxed{0}$

解析

本题考查数列极限的计算，解题思路是根据指数函数的性质以及极限的定义来求解。

  1. 分析$6^n$的变化趋势：
    • 对于指数函数$y = a^x$（$a>1$），当$x\to+\infty$时，函数值$y\to+\infty$。
    • 在本题中，$a = 6>1$，当$n\to\infty$时，$6^n\to+\infty$。
  2. 分析$\frac{1}{6^n}$的变化趋势：
    • 当分母$6^n$趋于无穷大时，分数$\frac{1}{6^n}$的值会越来越小，趋近于\\(\frac{1}{6^n})\)变形为$(\frac{1}{6})^n$。
    • 对于指数函数$y = a^x$（$0 < a<1$），当$x\to+\infty$时，函数值$y\to0$。
    • 这里$a=\frac{1}{6}\in(0,1)$，当$n\to\infty$时，$(\frac{1}{6})^n\to0$，即$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6^{n}} = 0$。
  3. **的极限定义验证：
    • 对于任意给定的正数$\epsilon$，要使$\left|\frac{1}{6^n}-0\right|=\frac{1}{6^n}<\epsilon$。
    • 解不等式$\frac{1}{6^n}<\epsilon$，即$6^n>\frac{1}{\epsilon}$，两边取以$6$为底的对数可得$n >\log_6\frac{1}{\epsilon}$。
    • 取$N=\left[\log_6\frac{1}{\epsilon}\right]+1$（$[x]$表示不超过$x$的最大整数），当$n > N$时，就有$\left|\frac{1}{6^n}-0\right|<\epsilon$，根据数列极限的定义，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6^{n}} = 0$。