题目
设二维随机变量((X)^6X)的概率密度函数与分布函数分别为((X)^6X)，((X)^6X)，则下列选项正确的是（ ）A.((X)^6X)B.((X)^6X)C.((X)^6X)D.((X)^6X)
设二维随机变量
的概率密度函数与分布函数分别为
，
，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
根据二维随机变量的概率密度和分布函数的概念与性质对选项依次分析：
A.根据概率密度的归一性，可知，而无法得知
的值，故A选项错误。
B.根据概率密度的归一性，可知，故B选项正确。
C.根据分布函数的必然性，可知
，而不可知
的值，故C选项错误。
D.根据分布函数的不可能性，可知
而不可知
的值，故D选项错误。
故本题目答案选择：B
解析
步骤 1：理解概率密度函数和分布函数的性质
概率密度函数$f(x,y)$描述了二维随机变量$(X,Y)$在某一点$(x,y)$处的概率密度，而分布函数$F(x,y)$描述了随机变量$(X,Y)$取值小于等于$(x,y)$的概率。根据概率密度函数的归一性，整个平面上的概率密度函数的积分应该等于1，即${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$。而分布函数$F(x,y)$在$(+\infty,+\infty)$处的值应该等于1，即$F(+\infty,+\infty)=1$。
步骤 2：分析选项A
选项A表示的是分布函数$F(x,y)$在整个平面上的积分，根据分布函数的定义，这个积分并不一定等于1，因为分布函数$F(x,y)$描述的是概率，而不是概率密度。因此，选项A是错误的。
步骤 3：分析选项B
选项B表示的是概率密度函数$f(x,y)$在整个平面上的积分，根据概率密度函数的归一性，这个积分应该等于1。因此，选项B是正确的。
步骤 4：分析选项C
选项C表示的是分布函数$F(+\infty,y)$的值，根据分布函数的定义，这个值并不一定等于1，因为分布函数$F(x,y)$描述的是概率，而不是概率密度。因此，选项C是错误的。
步骤 5：分析选项D
选项D表示的是分布函数$F(-\infty,y)$的值，根据分布函数的定义，这个值应该等于0，因为分布函数$F(x,y)$描述的是概率，而随机变量$(X,Y)$取值小于等于$(-\infty,y)$的概率为0。因此，选项D是错误的。
概率密度函数$f(x,y)$描述了二维随机变量$(X,Y)$在某一点$(x,y)$处的概率密度，而分布函数$F(x,y)$描述了随机变量$(X,Y)$取值小于等于$(x,y)$的概率。根据概率密度函数的归一性，整个平面上的概率密度函数的积分应该等于1，即${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$。而分布函数$F(x,y)$在$(+\infty,+\infty)$处的值应该等于1，即$F(+\infty,+\infty)=1$。
步骤 2：分析选项A
选项A表示的是分布函数$F(x,y)$在整个平面上的积分，根据分布函数的定义，这个积分并不一定等于1，因为分布函数$F(x,y)$描述的是概率，而不是概率密度。因此，选项A是错误的。
步骤 3：分析选项B
选项B表示的是概率密度函数$f(x,y)$在整个平面上的积分，根据概率密度函数的归一性，这个积分应该等于1。因此，选项B是正确的。
步骤 4：分析选项C
选项C表示的是分布函数$F(+\infty,y)$的值，根据分布函数的定义，这个值并不一定等于1，因为分布函数$F(x,y)$描述的是概率，而不是概率密度。因此，选项C是错误的。
步骤 5：分析选项D
选项D表示的是分布函数$F(-\infty,y)$的值，根据分布函数的定义，这个值应该等于0，因为分布函数$F(x,y)$描述的是概率，而随机变量$(X,Y)$取值小于等于$(-\infty,y)$的概率为0。因此，选项D是错误的。