题目
[题目]-|||-二次积分 (int )_(-1)^0dy(int )_(2)^1-yf(x,y)dx 交换次序后为 __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
原积分区域由 $-1 \leqslant y \leqslant 0$ 和 $2 \leqslant x \leqslant 1-y$ 确定。为了交换积分次序，我们需要重新描述这个区域，使其以 $x$ 为外变量，$y$ 为内变量。
步骤 2：重新描述积分区域
根据原积分区域的边界条件，可以得到 $1-y \leqslant x \leqslant 2$，即 $1-x \leqslant y \leqslant 0$。同时，$x$ 的范围是 $1 \leqslant x \leqslant 2$。因此，新的积分区域可以描述为 $1 \leqslant x \leqslant 2$ 和 $1-x \leqslant y \leqslant 0$。
步骤 3：交换积分次序
根据新的积分区域，交换积分次序后的二次积分形式为 ${\int }_{1}^{2}dx{\int }_{1-x}^{0}f(x,y)dy$。由于原积分中 $x$ 的积分下限为 $2$，而新的积分区域中 $x$ 的积分下限为 $1$，因此需要将原积分的负号保留，以保持积分值不变。
原积分区域由 $-1 \leqslant y \leqslant 0$ 和 $2 \leqslant x \leqslant 1-y$ 确定。为了交换积分次序，我们需要重新描述这个区域，使其以 $x$ 为外变量，$y$ 为内变量。
步骤 2：重新描述积分区域
根据原积分区域的边界条件，可以得到 $1-y \leqslant x \leqslant 2$，即 $1-x \leqslant y \leqslant 0$。同时，$x$ 的范围是 $1 \leqslant x \leqslant 2$。因此，新的积分区域可以描述为 $1 \leqslant x \leqslant 2$ 和 $1-x \leqslant y \leqslant 0$。
步骤 3：交换积分次序
根据新的积分区域，交换积分次序后的二次积分形式为 ${\int }_{1}^{2}dx{\int }_{1-x}^{0}f(x,y)dy$。由于原积分中 $x$ 的积分下限为 $2$，而新的积分区域中 $x$ 的积分下限为 $1$，因此需要将原积分的负号保留，以保持积分值不变。